Verifique as seguintes propriedades da função exponencial ( z, z_{1}, z_{2} \in \mathbb{C} ; n \in \mathbb{Z} ):
j) O conjunto imagem da função e^{Z} é \mathbb{C}^{*}=\mathbb{C}-\{0\}
As variáveis z,z_{1},z_{2} pertencem a \mathbb{C}.
Não há restrição sobre z: pode ser qualquer número complexo.
É preciso mostrar que todo valor possível de e^{z} é exatamente todo número complexo não nulo, ou seja, que a imagem da aplicação z\mapsto e^{z} é o conjunto de todos os complexos exceto 0.
Passo 2
Definição e fórmula básica da exponencial complexa.
Qualquer z\in\mathbb{C} pode ser escrito como
z=x+iy,
onde x=\operatorname{Re}(z)\in\mathbb{R} e y=\operatorname{Im}(z)\in\mathbb{R}. A função exponencial complexa é definida por
e^{z}=e^{x+iy}=e^{x}\big(\cos y + i\sin y\big).
Explicação: esta fórmula vem da identidade de Euler e^{iy}=\cos y+i\sin y e da propriedade real e^{x+iy}=e^{x}e^{iy}. Aqui e^{x} é o exponencial real (sempre positivo) e \cos y+i\sin y é um número complexo de módulo 1.
Passo 3
Primeira parte: mostrar que e^{z}\neq 0 para todo z.
Calcule o módulo de e^{z} usando a fórmula do passo anterior:
\big|e^{z}\big|= \big|e^{x}\big|\cdot\big|\cos y + i\sin y\big|=e^{x}\cdot 1=e^{x}.
Como e^{x}>0 para todo x\in\mathbb{R}, segue que \big|e^{z}\big|>0 e, portanto, e^{z}\neq 0. Conclusão parcial:
Segunda parte: mostrar que todo w\in\mathbb{C}^{*} é atingido por e^{z} (surjetividade).
Seja w\in\mathbb{C}^{*}, ou seja, w\neq 0. Podemos escrever w em forma polar (fórmula de módulo e argumento):
onde \rho=|w|>0 e \theta\in\mathbb{R} é um argumento de w. Observação didática: o argumento \theta não é único — pode-se somar qualquer múltiplo de 2\pi e obter outro argumento — mas basta escolher um qualquer para a construção abaixo.
Defina
z=\ln\rho + i\theta.
Aqui \ln\rho é o logaritmo natural do número real positivo \rho (bem definido e real). Agora calcule e^{z}:
Comentário adicional (útil para prova): a solução z para e^{z}=w não é única — se z_{0} é uma solução, então todos os números da forma z_{0}+2\pi i k com k\in\mathbb{Z} também são soluções, porque e^{2\pi i k}=1.
Resposta
O conjunto imagem da função e^{z} é \mathbb{C}^{*}=\mathbb{C}\setminus\{0\}.