Verifique as seguintes propriedades da função exponencial (
):
f)
f)
Passo 1
O que o enunciado pede: verificar a igualdade
para todo
.
Dados relevantes fornecidos pelo enunciado:
-
. - A função exponencial complexa
está bem definida (vamos usar a sua definição por série de potências).
Passo 2
Definição e propriedades básicas da exponencial complexa (aula rápida e necessária).
- A exponencial complexa é definida por série de potências:
Aqui cada termo significa:
é o produto
(n vezes) e
é o fatorial de
. A série converge para todo
(essa é uma propriedade padrão da série exponencial).
- A série para
é obtida substituindo por :
Isso define
sem qualquer ambiguidade.
Passo 3
Provar a regra de produto
(passo essencial).
- Considere
. Pelas séries:
- O produto é dado pelo produto de séries (produto de Cauchy), que é absolutamente convergente, então podemos escrever:
- No somatório interno podemos reconhecer os coeficientes binomiais:
- Portanto
Esta identidade é central e vale para todos
.
Passo 4
Aplicar a identidade com
e concluir.
- Substituindo
na identidade obtemos:
- Pela definição por série,
- Logo
Isto mostra que
é um inverso multiplicativo de
. Como multiplicativo inverso é único, segue-se