Verifique as seguintes propriedades da função exponencial ( z, z_{1}, z_{2} \in \mathbb{C} ; n \in \mathbb{Z} ):
f) e^{-z}=\frac{1}{e^{z}}

Passo 1

O que o enunciado pede: verificar a igualdade \displaystyle e^{-z}=\frac{1}{e^{z}} para todo z\in\mathbb{C}.
Dados relevantes fornecidos pelo enunciado:
  • z\in\mathbb{C}.
  • A função exponencial complexa e^{z} está bem definida (vamos usar a sua definição por série de potências).

Passo 2

Definição e propriedades básicas da exponencial complexa (aula rápida e necessária).
  • A exponencial complexa é definida por série de potências:
e^{z}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^{n}}{n!}\quad\text{para todo }z\in\mathbb{C}.
Aqui cada termo significa: z^{n} é o produto z\cdot z\cdots z (n vezes) e n! é o fatorial de n. A série converge para todo z\in\mathbb{C} (essa é uma propriedade padrão da série exponencial).
  • A série para e^{-z} é obtida substituindo z por -z:
e^{-z}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-z)^{n}}{n!}.
Isso define e^{-z} sem qualquer ambiguidade.

Passo 3

Provar a regra de produto e^{z+w}=e^{z}e^{w} (passo essencial).
  • Considere z,w\in\mathbb{C}. Pelas séries:
e^{z}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^{n}}{n!},\qquad e^{w}=\sum_{m=0}^{\infty}\frac{w^{m}}{m!}.
  • O produto é dado pelo produto de séries (produto de Cauchy), que é absolutamente convergente, então podemos escrever:
e^{z}e^{w}=\sum_{k=0}^{\infty}\left(\sum_{n=0}^{k}\frac{z^{n}}{n!}\cdot\frac{w^{\,k-n}}{(k-n)!}\right).
  • No somatório interno podemos reconhecer os coeficientes binomiais:
\sum_{n=0}^{k}\frac{z^{n}w^{\,k-n}}{n!(k-n)!}=\frac{1}{k!}\sum_{n=0}^{k}\binom{k}{n}z^{n}w^{\,k-n}=\frac{(z+w)^{k}}{k!}.
  • Portanto
e^{z}e^{w}=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(z+w)^{k}}{k!}=e^{\,z+w}.
Esta identidade é central e vale para todos z,w\in\mathbb{C}.

Passo 4

Aplicar a identidade com w=-z e concluir.
  • Substituindo w=-z na identidade e^{z}e^{w}=e^{z+w} obtemos:
e^{z}e^{-z}=e^{z+(-z)}=e^{0}.
  • Pela definição por série,
e^{0}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{0^{n}}{n!}=1.
  • Logo
e^{z}e^{-z}=1.
Isto mostra que e^{-z} é um inverso multiplicativo de e^{z}. Como multiplicativo inverso é único, segue-se
e^{-z}=\frac{1}{e^{z}}.

Resposta

\displaystyle e^{-z}=\frac{1}{e^{z}}

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