Verifique as seguintes propriedades da função exponencial ( z, z_{1}, z_{2} \in \mathbb{C} ; n \in \mathbb{Z} ):
e) e^{z_{1}-z_{2}}=\frac{e^{z_{1}}}{e^{z_{2}}}

Passo 1

O que o problema pede: verificar a identidade
e^{z_{1}-z_{2}}=\frac{e^{z_{1}}}{e^{z_{2}}}
para z,z_{1},z_{2}\in\mathbb{C} (e n\in\mathbb{Z} aparece no enunciado geral, mas não é necessário aqui).
Informações dadas e o que podemos usar sem pedir nada:
  • A função exponencial complexa será usada na sua definição por série de potências.
  • Podemos usar propriedades básicas de séries absolutamente convergentes (produto de Cauchy).
  • Não há figuras nem dados numéricos adicionais.

Passo 2

Definição e fatos básicos que vou usar (explicação didática):
  • Definição: para qualquer z\in\mathbb{C} define-se
e^{z}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^{n}}{n!}.
Cada termo é \dfrac{z^{n}}{n!}. Aqui n! é o fatorial usual e a soma é uma série de potências centrada em zero.
  • Convergência: a série acima converge absolutamente para todo z\in\mathbb{C}. Uma forma rápida de ver isso é aplicar o teste da razão aos termos a_{n}=\dfrac{|z|^{n}}{n!}:
\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_{n}}=\lim_{n\to\infty}\frac{|z|^{n+1}/(n+1)!}{|z|^{n}/n!}=\lim_{n\to\infty}\frac{|z|}{n+1}=0,
portanto a série de termos absolutos converge, logo a série original converge absolutamente. Isso justifica manipulações com produto de séries.
  • Produto de Cauchy: se \sum a_{n} e \sum b_{n} são séries absolutamente convergentes então o produto de Cauchy
\left(\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}\right)\left(\sum_{n=0}^{\infty}b_{n}\right)
é convergente e sua soma é \sum_{n=0}^{\infty}\sum_{k=0}^{n}a_{k}b_{n-k}. Vou usar isso para multiplicar duas séries exponenciais.

Passo 3

Provar a propriedade aditiva das exponenciais: e^{z_{1}}e^{z_{2}}=e^{z_{1}+z_{2}}.
  • Escrevendo as séries:
e^{z_{1}}=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{z_{1}^{k}}{k!},\qquad e^{z_{2}}=\sum_{m=0}^{\infty}\frac{z_{2}^{m}}{m!}.
Como ambas convergem absolutamente, podemos formar o produto e usar o produto de Cauchy:
e^{z_{1}}e^{z_{2}} =\sum_{n=0}^{\infty}\sum_{k=0}^{n}\frac{z_{1}^{k}}{k!}\cdot\frac{z_{2}^{\,n-k}}{(n-k)!}.
  • Reescrevendo o termo interno usando a combinação binomial:
\sum_{k=0}^{n}\frac{z_{1}^{k}}{k!}\frac{z_{2}^{\,n-k}}{(n-k)!} =\frac{1}{n!}\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}z_{1}^{k}z_{2}^{\,n-k}.
Pela fórmula do binómio de Newton isso é exatamente
\frac{1}{n!}(z_{1}+z_{2})^{n}.
  • Portanto o coeficiente de n-ésima ordem na soma dupla é \dfrac{(z_{1}+z_{2})^{n}}{n!}. Assim, reunindo tudo,
e^{z_{1}}e^{z_{2}}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(z_{1}+z_{2})^{n}}{n!}=e^{\,z_{1}+z_{2}}.
Essa é a identidade multiplicativa fundamental das exponenciais complexas.

Passo 4

Usar a propriedade multiplicativa para obter a identidade pedida.
  • Substitua z_{2} por -z_{2} na identidade do Passo 3:
e^{z_{1}}e^{-z_{2}}=e^{z_{1}-z_{2}}.
Reescrevendo,
e^{z_{1}-z_{2}}=e^{z_{1}}e^{-z_{2}}.
  • Agora observe que e^{0}=1 (porque pela definição \sum_{n=0}^{\infty}0^{n}/n!=1) e aplicando a identidade multiplicativa com z e -z temos
e^{z_{2}}e^{-z_{2}}=e^{0}=1,
ou seja, e^{-z_{2}} é o inverso multiplicativo de e^{z_{2}}. Em particular e^{z_{2}}\neq 0, então faz sentido dividir por e^{z_{2}}.
  • Dividindo a igualdade do começo deste passo por e^{z_{2}} (válido porque e^{z_{2}}\neq 0) obtemos
e^{z_{1}-z_{2}}=\frac{e^{z_{1}}}{e^{z_{2}}}.

Passo 5

Resumo do raciocínio (para fixar o método na hora da prova):
  • Definir e^{z} por série e usar que a série converge absolutamente.
  • Mostrar e^{a}e^{b}=e^{a+b} pelo produto de Cauchy e binómio de Newton.
  • Deduzir a identidade pedida substituindo b=-z_{2} e dividindo por e^{z_{2}}, lembrando que e^{z_{2}}\neq 0 porque tem inverso e^{-z_{2}}.
    Dica prática: na prova, se pedirem algo do tipo e^{u-v}=\cdots, o caminho curto é aplicar a propriedade aditiva e^{u-v}e^{v}=e^{u} e isolar e^{u-v}.

Resposta

e^{z_{1}-z_{2}}=\frac{e^{z_{1}}}{e^{z_{2}}}

Exercícios relacionados