Verifique as seguintes propriedades da função exponencial (
):
e)
e)
Passo 1
O que o problema pede: verificar a identidade
para
(e
aparece no enunciado geral, mas não é necessário aqui).
Informações dadas e o que podemos usar sem pedir nada:
- A função exponencial complexa será usada na sua definição por série de potências.
- Podemos usar propriedades básicas de séries absolutamente convergentes (produto de Cauchy).
- Não há figuras nem dados numéricos adicionais.
Passo 2
Definição e fatos básicos que vou usar (explicação didática):
- Definição: para qualquer
define-se
Cada termo é
. Aqui
é o fatorial usual e a soma é uma série de potências centrada em zero.
- Convergência: a série acima converge absolutamente para todo
. Uma forma rápida de ver isso é aplicar o teste da razão aos termos :
portanto a série de termos absolutos converge, logo a série original converge absolutamente. Isso justifica manipulações com produto de séries.
- Produto de Cauchy: se
e são séries absolutamente convergentes então o produto de Cauchy
é convergente e sua soma é
. Vou usar isso para multiplicar duas séries exponenciais.
Passo 3
Provar a propriedade aditiva das exponenciais:
.
- Escrevendo as séries:
Como ambas convergem absolutamente, podemos formar o produto e usar o produto de Cauchy:
- Reescrevendo o termo interno usando a combinação binomial:
Pela fórmula do binómio de Newton isso é exatamente
- Portanto o coeficiente de
-ésima ordem na soma dupla é . Assim, reunindo tudo,
Essa é a identidade multiplicativa fundamental das exponenciais complexas.
Passo 4
Usar a propriedade multiplicativa para obter a identidade pedida.
- Substitua
por na identidade do Passo 3:
Reescrevendo,
- Agora observe que
(porque pela definição ) e aplicando a identidade multiplicativa com e temos
ou seja,
é o inverso multiplicativo de
. Em particular
, então faz sentido dividir por
.
- Dividindo a igualdade do começo deste passo por
(válido porque ) obtemos
Passo 5
Resumo do raciocínio (para fixar o método na hora da prova):
- Definir
por série e usar que a série converge absolutamente. - Mostrar
pelo produto de Cauchy e binómio de Newton. - Deduzir a identidade pedida substituindo
e dividindo por , lembrando que porque tem inverso .
Dica prática: na prova, se pedirem algo do tipo, o caminho curto é aplicar a propriedade aditiva e isolar .