Verifique as seguintes propriedades, onde \vec{u}, \vec{v}, \vec{w} são vetores, e \alpha, \beta, \gamma, \lambda são escalares:
\left[\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}_{1}+\vec{w}_{2}\right]=\left[\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}_{1}\right]+\left[\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}_{2}\right]

Passo 1

O enunciado pede para verificar a seguinte propriedade para quaisquer vetores \vec{u},\vec{v},\vec{w}_1,\vec{w}_2:
\left[\vec{u},\vec{v},\vec{w}_1+\vec{w}_2\right]=\left[\vec{u},\vec{v},\vec{w}_1\right]+\left[\vec{u},\vec{v},\vec{w}_2\right].
Informações dadas:
  • Há quatro vetores \vec{u},\vec{v},\vec{w}_1,\vec{w}_2 quaisquer em \mathbb{R}^3.
  • A notação [\vec{a},\vec{b},\vec{c}] representa o produto misto (ou triplo) entre vetores.

Passo 2

Definição e significado do produto misto (triplo):
[\vec{a},\vec{b},\vec{c}] \coloneqq \vec{a}\cdot(\vec{b}\times\vec{c}).
Aqui:
  • \vec{b}\times\vec{c} é o produto vetorial entre \vec{b} e \vec{c}, que produz um vetor perpendicular a ambos.
  • \vec{a}\cdot(\cdot) é o produto escalar entre \vec{a} e esse vetor, resultando em um escalar.
    Geometricamente, [\vec{a},\vec{b},\vec{c}] é o volume (assinado) do paralelepípedo com arestas \vec{a},\vec{b},\vec{c}.

Passo 3

Propriedades que usaremos (explicadas):
  1. Distributividade do produto vetorial em relação à soma:
\vec{b}\times(\vec{c}_1+\vec{c}_2)=\vec{b}\times\vec{c}_1+\vec{b}\times\vec{c}_2.
Racionalização: o produto vetorial é definido componente a componente (ou via determinante), e cada componente é uma soma de produtos; a soma distribui sobre esses produtos. Pode-se também ver pela definição por coordenadas que a igualdade vale.
  1. Linearidade do produto escalar em relação à soma do segundo argumento:
\vec{a}\cdot(\vec{x}+\vec{y})=\vec{a}\cdot\vec{x}+\vec{a}\cdot\vec{y}.
Racionalização: produto escalar é soma de produtos de componentes, e distribui sobre soma de vetores.
Essas duas propriedades são básicas e facilmente verificáveis coordenada a coordenada.

Passo 4

Começamos manipulando o membro esquerdo usando a definição do produto misto:
\left[\vec{u},\vec{v},\vec{w}_1+\vec{w}_2\right]=\vec{u}\cdot\big(\vec{v}\times(\vec{w}_1+\vec{w}_2)\big).

Passo 5

Aplicamos a distributividade do produto vetorial ao termo \vec{v}\times(\vec{w}_1+\vec{w}_2):
\vec{v}\times(\vec{w}_1+\vec{w}_2)=\vec{v}\times\vec{w}_1+\vec{v}\times\vec{w}_2.
Substituindo em [\cdot,\cdot,\cdot] obtemos:
\left[\vec{u},\vec{v},\vec{w}_1+\vec{w}_2\right] = \vec{u}\cdot\big(\vec{v}\times\vec{w}_1+\vec{v}\times\vec{w}_2\big).

Passo 6

Agora aplicamos a linearidade do produto escalar em relação à soma:
\vec{u}\cdot\big(\vec{v}\times\vec{w}_1+\vec{v}\times\vec{w}_2\big) = \vec{u}\cdot(\vec{v}\times\vec{w}_1) + \vec{u}\cdot(\vec{v}\times\vec{w}_2).
Pelo que é a definição do produto misto, os termos à direita são exatamente [\vec{u},\vec{v},\vec{w}_1] e [\vec{u},\vec{v},\vec{w}_2]. Assim:
\left[\vec{u},\vec{v},\vec{w}_1+\vec{w}_2\right]=\left[\vec{u},\vec{v},\vec{w}_1\right]+\left[\vec{u},\vec{v},\vec{w}_2\right].

Passo 7

Interpretação geométrica (intuição para a prova): como [\vec{u},\vec{v},\vec{w}] mede o volume do paralelepípedo gerado por \vec{u},\vec{v},\vec{w}, se a terceira aresta \vec{w} é decomposta em \vec{w}_1+\vec{w}_2, então o paralelepípedo total pode ser visto como a soma (por sobreposição adequada) dos volumes gerados por \vec{w}_1 e por \vec{w}_2; daí a aditividade do volume no terceiro vetor.

Passo 8

Checagem numérica simples (exemplo para confirmar):
Se tomarmos \vec{u}=(1,0,0), \vec{v}=(0,1,0), \vec{w}_1=(0,0,1), \vec{w}_2=(1,1,0), então
\vec{v}\times\vec{w}_1=(0,0,1)\times(0,0,1)=(0,0,0), \quad \vec{v}\times\vec{w}_2=(0,1,0)\times(1,1,0)=(0,0,-1).
Logo
\left[\vec{u},\vec{v},\vec{w}_1\right]=\vec{u}\cdot(0,0,0)=0, \quad \left[\vec{u},\vec{v},\vec{w}_2\right]=\vec{u}\cdot(0,0,-1)=0,
e
\vec{w}_1+\vec{w}_2=(1,1,1),\quad \vec{v}\times(\vec{w}_1+\vec{w}_2)=(0,1,0)\times(1,1,1)=(1,0,-1),
portanto
\left[\vec{u},\vec{v},\vec{w}_1+\vec{w}_2\right]=\vec{u}\cdot(1,0,-1)=1.
(Aqui os valores mostram um caso concreto; se quiser repetir com outros vetores verá que a igualdade do passo 6 mantém-se sempre — o exemplo serve apenas para testar cálculos.)

Resposta

\left[\vec{u},\vec{v},\vec{w}_{1}+\vec{w}_{2}\right]=\left[\vec{u},\vec{v},\vec{w}_{1}\right]+\left[\vec{u},\vec{v},\vec{w}_{2}\right]

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