Verifique as seguintes propriedades, onde
são vetores, e
são escalares:
Passo 1
O enunciado pede para verificar a seguinte propriedade para quaisquer vetores
:
Informações dadas:
- Há quatro vetores
quaisquer em . - A notação
representa o produto misto (ou triplo) entre vetores.
Passo 2
Definição e significado do produto misto (triplo):
Aqui:
-
é o produto vetorial entre e , que produz um vetor perpendicular a ambos. -
é o produto escalar entre e esse vetor, resultando em um escalar.
Geometricamente,é o volume (assinado) do paralelepípedo com arestas .
Passo 3
Propriedades que usaremos (explicadas):
- Distributividade do produto vetorial em relação à soma:
Racionalização: o produto vetorial é definido componente a componente (ou via determinante), e cada componente é uma soma de produtos; a soma distribui sobre esses produtos. Pode-se também ver pela definição por coordenadas que a igualdade vale.
- Linearidade do produto escalar em relação à soma do segundo argumento:
Racionalização: produto escalar é soma de produtos de componentes, e distribui sobre soma de vetores.
Essas duas propriedades são básicas e facilmente verificáveis coordenada a coordenada.
Passo 4
Começamos manipulando o membro esquerdo usando a definição do produto misto:
Passo 5
Aplicamos a distributividade do produto vetorial ao termo
:
Substituindo em
obtemos:
Passo 6
Agora aplicamos a linearidade do produto escalar em relação à soma:
Pelo que é a definição do produto misto, os termos à direita são exatamente
e
. Assim:
Passo 7
Interpretação geométrica (intuição para a prova): como
mede o volume do paralelepípedo gerado por
, se a terceira aresta
é decomposta em
, então o paralelepípedo total pode ser visto como a soma (por sobreposição adequada) dos volumes gerados por
e por
; daí a aditividade do volume no terceiro vetor.
Passo 8
Checagem numérica simples (exemplo para confirmar):
Se tomarmos ,
,
,
, então
Se tomarmos
Logo
e
portanto
(Aqui os valores mostram um caso concreto; se quiser repetir com outros vetores verá que a igualdade do passo 6 mantém-se sempre — o exemplo serve apenas para testar cálculos.)