Verifique as seguintes propriedades, onde \vec{u}, \vec{v}, \vec{w} são vetores, e \alpha, \beta, \gamma, \lambda são escalares:
\left[\vec{u}_{1}+\vec{u}_{2}, \vec{v}, \vec{w}\right]=\left[\vec{u}_{1}, \vec{v}, \vec{w}\right]+\left[\vec{u}_{2}, \vec{v}, \vec{w}\right]

Passo 1

O enunciado pede para verificar a igualdade abaixo, onde \vec{u}_{1},\vec{u}_{2},\vec{v},\vec{w} são vetores:
\left[\vec{u}_{1}+\vec{u}_{2}, \vec{v}, \vec{w}\right]=\left[\vec{u}_{1}, \vec{v}, \vec{w}\right]+\left[\vec{u}_{2}, \vec{v}, \vec{w}\right].
As informações dadas são apenas que os símbolos denotam vetores (sem coordenadas específicas). Não há outras condições especiais (como ortogonalidade) indicadas. O objetivo é mostrar que o produto misto (ou triplo escalar) é linear na sua primeira entrada, isto é, que a soma no primeiro argumento se distribui.

Passo 2

Definição e propriedades que vamos usar (explicadas de forma bem clara):
  • O produto misto \left[\vec{a},\vec{b},\vec{c}\right] é definido por
\left[\vec{a},\vec{b},\vec{c}\right]=\vec{a}\cdot(\vec{b}\times\vec{c}).
Isto é, primeiro calcula-se o produto vetorial \vec{b}\times\vec{c} (que é um vetor), e depois faz-se o produto escalar desse vetor com \vec{a}.
  • Propriedades básicas que usaremos:
    1. O produto escalar é distributivo em cada entrada: para quaisquer vetores \vec{x},\vec{y},\vec{z},
    \vec{x}\cdot(\vec{y}+\vec{z})=\vec{x}\cdot\vec{y}+\vec{x}\cdot\vec{z}.
    1. O produto vetorial é bilinear: para quaisquer vetores \vec{p},\vec{q},\vec{r},
    (\vec{p}+\vec{q})\times\vec{r}=\vec{p}\times\vec{r}+\vec{q}\times\vec{r}.Essas duas propriedades são fundamentais e seguem da definição componente a componente dos produtos escalar e vetorial (ou da sua representação por determinantes). Vou usá-las explicitamente na prova.

Passo 3

Aplicando a definição do produto misto à expressão da esquerda:
\left[\vec{u}_{1}+\vec{u}_{2},\vec{v},\vec{w}\right]=(\vec{u}_{1}+\vec{u}_{2})\cdot(\vec{v}\times\vec{w}).
Aqui usei que o produto misto é \vec{a}\cdot(\vec{b}\times\vec{c}) com \vec{a}=\vec{u}_{1}+\vec{u}_{2}, \vec{b}=\vec{v}, \vec{c}=\vec{w}.

Passo 4

Agora uso a distributividade do produto escalar em relação à soma no primeiro fator. Pela propriedade do passo anterior:
(\vec{u}_{1}+\vec{u}_{2})\cdot(\vec{v}\times\vec{w}) = \vec{u}_{1}\cdot(\vec{v}\times\vec{w}) + \vec{u}_{2}\cdot(\vec{v}\times\vec{w}).
Cada termo à direita é um produto misto com \vec{v} e \vec{w}.

Passo 5

Reescrevendo cada termo como produto misto, obtemos
\vec{u}_{1}\cdot(\vec{v}\times\vec{w}) = \left[\vec{u}_{1},\vec{v},\vec{w}\right], \qquad \vec{u}_{2}\cdot(\vec{v}\times\vec{w}) = \left[\vec{u}_{2},\vec{v},\vec{w}\right].
Substituindo na igualdade do passo anterior segue imediatamente que
\left[\vec{u}_{1}+\vec{u}_{2},\vec{v},\vec{w}\right] = \left[\vec{u}_{1},\vec{v},\vec{w}\right] + \left[\vec{u}_{2},\vec{v},\vec{w}\right].

Passo 6

Comentário pedagógico rápido (jeito alternativo): outra forma de ver isso é escrever o produto misto como determinante da matriz cujas linhas (ou colunas) são as componentes dos vetores:
\left[\vec{a},\vec{b},\vec{c}\right]= \begin{vmatrix} a_1 & a_2 & a_3\\[4pt] b_1 & b_2 & b_3\\[4pt] c_1 & c_2 & c_3 \end{vmatrix}.
Como o determinante é linear em cada linha separadamente, a linearidade na primeira entrada também fica imediata por essa representação. Isso confirma a mesma conclusão por outro caminho.]

Passo 7

Exemplo numérico rápido para sentir a propriedade (apenas para reforçar): escolha
\vec{u}_{1}=(1,0,0), \vec{u}_{2}=(0,1,0), \vec{v}=(0,0,1), \vec{w}=(1,1,1).
Calcule:
\vec{v}\times\vec{w}=(0,0,1)\times(1,1,1)=( -1,1,0 ).
Então
(\vec{u}_{1}+\vec{u}_{2})\cdot(\vec{v}\times\vec{w})=(1,1,0)\cdot(-1,1,0)= -1+1+0=0.
E
\vec{u}_{1}\cdot(\vec{v}\times\vec{w})=(1,0,0)\cdot(-1,1,0)=-1, \qquad \vec{u}_{2}\cdot(\vec{v}\times\vec{w})=(0,1,0)\cdot(-1,1,0)=1,
logo a soma dá -1+1=0, que coincide com o lado esquerdo. Bom sinal de que a propriedade funciona na prática.

Resposta

\left[\vec{u}_{1}+\vec{u}_{2}, \vec{v}, \vec{w}\right]=\left[\vec{u}_{1}, \vec{v}, \vec{w}\right]+\left[\vec{u}_{2}, \vec{v}, \vec{w}\right]

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