Verifique as seguintes propriedades, onde \vec{u}, \vec{v}, \vec{w} são vetores, e \alpha, \beta, \gamma, \lambda são escalares: \left[\vec{u}_{1}+\vec{u}_{2}, \vec{v}, \vec{w}\right]=\left[\vec{u}_{1}, \vec{v}, \vec{w}\right]+\left[\vec{u}_{2}, \vec{v}, \vec{w}\right]
Passo 1
O enunciado pede para verificar a igualdade abaixo, onde \vec{u}_{1},\vec{u}_{2},\vec{v},\vec{w} são vetores:
As informações dadas são apenas que os símbolos denotam vetores (sem coordenadas específicas). Não há outras condições especiais (como ortogonalidade) indicadas. O objetivo é mostrar que o produto misto (ou triplo escalar) é linear na sua primeira entrada, isto é, que a soma no primeiro argumento se distribui.
Passo 2
Definição e propriedades que vamos usar (explicadas de forma bem clara):
O produto misto \left[\vec{a},\vec{b},\vec{c}\right] é definido por
O produto vetorial é bilinear: para quaisquer vetores \vec{p},\vec{q},\vec{r},
(\vec{p}+\vec{q})\times\vec{r}=\vec{p}\times\vec{r}+\vec{q}\times\vec{r}.Essas duas propriedades são fundamentais e seguem da definição componente a componente dos produtos escalar e vetorial (ou da sua representação por determinantes). Vou usá-las explicitamente na prova.
Passo 3
Aplicando a definição do produto misto à expressão da esquerda:
Comentário pedagógico rápido (jeito alternativo): outra forma de ver isso é escrever o produto misto como determinante da matriz cujas linhas (ou colunas) são as componentes dos vetores:
Como o determinante é linear em cada linha separadamente, a linearidade na primeira entrada também fica imediata por essa representação. Isso confirma a mesma conclusão por outro caminho.]
Passo 7
Exemplo numérico rápido para sentir a propriedade (apenas para reforçar): escolha \vec{u}_{1}=(1,0,0), \vec{u}_{2}=(0,1,0), \vec{v}=(0,0,1), \vec{w}=(1,1,1).
Calcule: