Verifique as seguintes propriedades para os vetores u, v e o escalar \alpha.
Simetria: \|u-v\|=\|v-u\|

Passo 1

O enunciado dá dois vetores u e v (em um espaço vetorial real, por exemplo \mathbb{R}^n) e pede para verificar a propriedade de simetria da norma:
\|u-v\|=\|v-u\|.
Informações relevantes fornecidas:
  • Existem os vetores u e v.
  • A expressão a provar é \|u-v\|=\|v-u\|.
    (O escalar \alpha foi mencionado no enunciado geral, mas não é necessário para esta propriedade específica.)

Passo 2

Observe uma relação simples entre as diferenças dos vetores:
v-u = -(u-v).
Explicando passo a passo: ao trocar u por v e v por u na expressão u-v, obtemos v-u. Reescrevendo, isso é multiplicar por -1: v-u = (-1)(u-v).

Passo 3

Lembrete sobre o que é norma (aqui uso a norma Euclidiana padrão, mas o argumento vale para qualquer norma que satisfaça homogeneidade): para um vetor x em \mathbb{R}^n a norma Euclidiana é
\|x\|=\sqrt{x\cdot x},
onde x\cdot x é o produto interno (produto escalar) de x por ele mesmo. Uma propriedade importante que usaremos é a homogeneidade da norma em relação à multiplicação por escalar:
\|\lambda x\| = |\lambda|\,\|x\|
para todo escalar \lambda e todo vetor x. Vou provar essa propriedade para a norma Euclidiana no próximo passo.

Passo 4

Prova da homogeneidade na norma Euclidiana (passo a passo):
\|\lambda x\|^2 = (\lambda x)\cdot(\lambda x).
Pelo linearidade do produto escalar em cada argumento,
(\lambda x)\cdot(\lambda x)=\lambda^2 (x\cdot x).
Tomando raiz quadrada em ambos os lados (e lembrando que a norma é não negativa),
\|\lambda x\| = \sqrt{\lambda^2 (x\cdot x)} = |\lambda|\,\sqrt{x\cdot x} = |\lambda|\,\|x\|.
Assim, a homogeneidade está comprovada para a norma Euclidiana.

Passo 5

Agora aplique a homogeneidade com \lambda=-1 ao vetor u-v:
\|v-u\|=\|-(u-v)\| = |-1|\,\|u-v\| = 1\cdot\|u-v\| = \|u-v\|.
Aqui usei primeiro a identidade do Passo 2 v-u=-(u-v) e em seguida a propriedade da homogeneidade do Passo 4.

Passo 6

Interpretação final e intuição: trocar a ordem em u-v só muda o sinal do vetor resultante; a norma mede o comprimento, que independe do sinal (comprimento é sempre não negativo), por isso \|u-v\|=\|v-u\|. Um exemplo numérico rápido para ganhar confiança: se u=(1,2) e v=(3,0) então
u-v = (-2,2),\quad v-u=(2,-2),
e \|u-v\|=\sqrt{(-2)^2+2^2}=\sqrt{8}=\|v-u\|.

Resposta

\|u-v\|=\|v-u\|

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