Verifique as seguintes propriedades para os vetores
e o escalar
.
Simetria:
Simetria:
Passo 1
O enunciado dá dois vetores
e
(em um espaço vetorial real, por exemplo
) e pede para verificar a propriedade de simetria da norma:
Informações relevantes fornecidas:
- Existem os vetores
e . - A expressão a provar é
.
(O escalarfoi mencionado no enunciado geral, mas não é necessário para esta propriedade específica.)
Passo 2
Observe uma relação simples entre as diferenças dos vetores:
Explicando passo a passo: ao trocar
por
e
por
na expressão
, obtemos
. Reescrevendo, isso é multiplicar por
:
.
Passo 3
Lembrete sobre o que é norma (aqui uso a norma Euclidiana padrão, mas o argumento vale para qualquer norma que satisfaça homogeneidade): para um vetor
em
a norma Euclidiana é
onde
é o produto interno (produto escalar) de
por ele mesmo. Uma propriedade importante que usaremos é a homogeneidade da norma em relação à multiplicação por escalar:
para todo escalar
e todo vetor
. Vou provar essa propriedade para a norma Euclidiana no próximo passo.
Passo 4
Prova da homogeneidade na norma Euclidiana (passo a passo):
Pelo linearidade do produto escalar em cada argumento,
Tomando raiz quadrada em ambos os lados (e lembrando que a norma é não negativa),
Assim, a homogeneidade está comprovada para a norma Euclidiana.
Passo 5
Agora aplique a homogeneidade com
ao vetor
:
Aqui usei primeiro a identidade do Passo 2
e em seguida a propriedade da homogeneidade do Passo 4.
Passo 6
Interpretação final e intuição: trocar a ordem em
só muda o sinal do vetor resultante; a norma mede o comprimento, que independe do sinal (comprimento é sempre não negativo), por isso
. Um exemplo numérico rápido para ganhar confiança: se
e
então
e
.