A velocidade em função do tempo de uma partícula que se move em linha reta é dada por
v(t)=\sin (\omega t) \cos ^{2}(\omega t) .
Encontre sua posição x em função do tempo, sabendo que x(0)=0.

Passo 1

O enunciado nos dá a velocidade de uma partícula movendo-se em linha reta como
v(t)=\sin(\omega t)\,\cos^2(\omega t)
e pede a posição x(t) sabendo que x(0)=0.
O conteúdo aqui é integração de velocidade para obter posição, usando substituição.

Passo 2

Escrevemos x(t) como integral da velocidade a partir de t=0:
x(t)=\int_{0}^{t}v(t')\,dt'=\int_{0}^{t}\sin(\omega t')\cos^2(\omega t')\,dt'.

Passo 3

Para facilitar a integral, fazemos a substituição
u=\cos(\omega t')\quad\Longrightarrow\quad du = -\omega\sin(\omega t')\,dt'
ou seja
\sin(\omega t')\,dt' = -\frac{1}{\omega}\,du.

Passo 4

Em termos de u, a integral fica
x(t) =\int_{t'=0}^{t'=t}\sin(\omega t')\cos^2(\omega t')\,dt' =-\frac{1}{\omega}\int_{u(0)=\cos0}^{u(t)=\cos(\omega t)}u^2\,du.
Agora integramos:
-\frac{1}{\omega}\int_{1}^{\cos(\omega t)}u^2\,du =-\frac{1}{\omega}\biggl[\frac{u^3}{3}\biggr]_{1}^{\cos(\omega t)} =-\frac{1}{\omega}\Bigl(\frac{\cos^3(\omega t)-1}{3}\Bigr).

Passo 5

Simplificando e aplicando a condição x(0)=0, obtemos
x(t) =-\frac{\cos^3(\omega t)-1}{3\,\omega} =\frac{1-\cos^3(\omega t)}{3\,\omega}.

Resposta

x(t)=\frac{1-\cos^3(\omega t)}{3\,\omega}.

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