Verifique se as seguintes sequências convergem ou divergem. Se convergir encontre o limite.
an=n^22 n+1 sen(pin)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa verificar se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, a gente também vai encontrar o limite. Para isso, vamos usar conceitos de limites de sequências e propriedades das funções trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão da sequência. Observamos que temos dois fatores: e . Vamos analisar cada um separadamente conforme tende ao infinito.

Passo 3

Vamos começar com n^22n + 1 = n2 + 1n . Dividindo o numerador e o denominador por limn to infty n2 + 1n = infty2 + 0 = infty , ficamos com:
À medida que cresce, tende a zero, então:
Portanto, cresce sem limites.

Passo 4

Agora, vamos analisar quando sen(pin) approx pin quando n to infty tende ao infinito. Sabemos que para valores pequenos de , é aproximadamente igual a . Ou seja:

Passo 5

Substituindo essa aproximação na sequência, temos:
an approx n^22n + 1 cdot pin = n cdot pi2n + 1
Simplificando ainda mais:
an approx pi n2n + 1 = pi2 + 1n

Passo 6

Agora, vamos calcular o limite dessa expressão quando limn to infty pi2 + 1n = pi2 + 0 = pi2 tende ao infinito:

Resposta

A sequência converge para .

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