Verifique se as seguintes sequências convergem ou divergem. Se convergir encontre o limite.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa verificar se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, a gente também vai encontrar o limite. Para isso, vamos usar conceitos de limites de sequências e propriedades das funções trigonométricas.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão da sequência. Observamos que temos dois fatores:
e . Vamos analisar cada um separadamente conforme
tende ao infinito.
Passo 3
Vamos começar com
. Dividindo o numerador e o denominador por
, ficamos com:
À medida que
cresce,
tende a zero, então:
Portanto,
cresce sem limites.
Passo 4
Agora, vamos analisar quando
tende ao infinito. Sabemos que para valores pequenos de
, é aproximadamente igual a
. Ou seja:
Passo 5
Substituindo essa aproximação na sequência, temos:
Simplificando ainda mais:
Passo 6
Agora, vamos calcular o limite dessa expressão quando
tende ao infinito:
Resposta
A sequência converge para
.