Verifique se as seguintes séries convergem absolutamente, condicionalmente ou divergem, justificando a resposta.
sumn=1^infty n^nn!

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O que a gente tem aqui é uma série infinita:
sumn=1^infty n^nn!
A gente precisa descobrir se essa série converge absolutamente, condicionalmente ou se diverge. Para isso, vamos usar a matéria de Testes de Convergência de Séries, mais especificamente o Teste da Razão.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teste da Razão. Esse teste nos ajuda a determinar a convergência de uma série comparando o termo geral com o próximo termo. A fórmula do teste é:
L = limn to infty | an+1an |
  • Se , a série converge absolutamente.
  • Se , a série diverge.
  • Se , o teste não conclui nada e temos que usar outro método.

Passo 3

Vamos aplicar esse teste na nossa série. Primeiro, identificamos an = n^nn! an+1 = (n+1)^n+1(n+1)! e an+1an = (n+1)^n+1(n+1)! times n!n^n = (n+1)^n+1n^n times (n+1) = (1 + 1n)^n :
Agora, calculamos a razão :

Passo 4

Precisamos calcular o limite dessa razão quando L = limn to infty (1 + 1n)^n tende ao infinito:
limn to infty (1 + 1n)^n = e approx 2,718
Sabemos que:
Então, .

Passo 5

Agora, comparando o limite com 1:
  • Como , de acordo com o Teste da Razão, a série diverge.

Resposta

A série diverge.

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