Verifique se as seguintes séries convergem absolutamente, condicionalmente ou divergem, justificando a resposta.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O que a gente tem aqui é uma série infinita:
A gente precisa descobrir se essa série converge absolutamente, condicionalmente ou se diverge. Para isso, vamos usar a matéria de Testes de Convergência de Séries, mais especificamente o Teste da Razão.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Teste da Razão. Esse teste nos ajuda a determinar a convergência de uma série comparando o termo geral com o próximo termo. A fórmula do teste é:
Se , a série converge absolutamente.
Se , a série diverge.
Se , o teste não conclui nada e temos que usar outro método.
Passo 3
Vamos aplicar esse teste na nossa série. Primeiro, identificamos an = n^nn! an+1 = (n+1)^n+1(n+1)! e an+1an = (n+1)^n+1(n+1)! times n!n^n = (n+1)^n+1n^n times (n+1) = (1 + 1n)^n :
Agora, calculamos a razão :
Passo 4
Precisamos calcular o limite dessa razão quando L = limn to infty (1 + 1n)^n tende ao infinito:
limn to infty (1 + 1n)^n = e approx 2,718
Sabemos que:
Então, .
Passo 5
Agora, comparando o limite com 1:
Como , de acordo com o Teste da Razão, a série diverge.