Verifique se as seguintes séries convergem absolutamente, condicionalmente ou divergem, justificando a resposta.
sumn=1^infty (-1)^nraiz[3]n

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nessa série que você me mandou:
sumn=1^infty (-1)^nraiz[3]n
A gente precisa descobrir se essa série converge absolutamente, condicionalmente ou se diverge. Para isso, vamos usar conhecimentos de séries alternadas e de séries p.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar a convergência absoluta. Isso significa que a gente olha para a série sem o termo alternado, ou seja:
sumn=1^infty | (-1)^nraiz[3]n | = sumn=1^infty 1n^1/3
Essa é uma série do tipo p onde . Sabemos que uma série p converge se . Como , essa série diverge. Logo, a série original não converge absolutamente.

Passo 3

Agora, vamos verificar a convergência condicional. A série original é alternada por causa do . Vamos aplicar o Teste da Série Alternada, que diz que se os termos são positivos, decrescentes e tendem a zero quando vai para o infinito, então a série converge.
  1. Positivos: para todo .
  2. Decrescentes: Conforme aumenta, diminui.
  3. Tendem a zero: .
Todos os critérios do teste são atendidos, então a série converge condicionalmente.

Resposta

A série converge condicionalmente.

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