Verifique se as seguintes séries são absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
sumn=1^infty(-1)^n-1 (2^3 n)n^n

Passo 1

O enunciado pede para classificar a série alternante
sumn=1^infty(-1)^n-12^3nn^n
em absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
O conteúdo principal aqui é teste de convergência de séries de termos positivos (aqui aplicaremos o teste da raiz ou da razão) para verificar a convergência absoluta.

Passo 2

Consideramos os termos em valor absoluto
|an| = 2^3nn^n = 8^nn^n
Aplicamos o teste da raiz:
raiz[n]|an| = raiz[n]8^nn^n = 8n
Como
limntoinfty8n = 0 < 1,
o teste da raiz garante que
sumn=1^infty8^nn^n
é convergente. Logo a série original é absolutamente convergente.

Passo 3

Sendo absolutamente convergente, a série converge sem necessidade de testar convergência condicional.

Resposta

A série é absolutamente convergente.

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