Verifique se as seguintes séries são convergentes os divergentes. Justifique sua resposta
Passo 1
O enunciado pede para verificar a convergência da série
. O conteúdo envolve séries de termos positivos e, mais especificamente, a ideia de séries telescópicas. Para resolver, vamos usar decomposição em frações parciais e depois examinar a soma parcial.
Passo 2
Decompondo o termo geral em frações parciais, procuramos constantes
e
tais que
Multiplicando ambos os lados por
, obtemos
Isso gera o sistema
ou seja,
Passo 3
Resolvendo o sistema, da primeira equação temos
. Substituindo na segunda:
Logo
Passo 4
Definindo a soma parcial
, temos
Note que ocorre cancelamento em cascata (efeito telescópico):
Passo 5
Ao fazer
, o termo
tende a zero. Portanto,
Isso mostra que a série converge e seu valor é
.
Resposta
A série converge e seu valor é
.