Verifique se as seguintes séries são convergentes os divergentes. Justifique sua resposta
sumn=0^infty 1(4 n+1)(4 n+5)

Passo 1

O enunciado pede para verificar a convergência da série sumn=0^infty 1(4n+1)(4n+5). O conteúdo envolve séries de termos positivos e, mais especificamente, a ideia de séries telescópicas. Para resolver, vamos usar decomposição em frações parciais e depois examinar a soma parcial.

Passo 2

Decompondo o termo geral em frações parciais, procuramos constantes A e B tais que
1(4n+1)(4n+5) = A4n+1 + B4n+5
Multiplicando ambos os lados por (4n+1)(4n+5), obtemos
A(4n+5) + B(4n+1) = 1
Isso gera o sistema
4n(A+B) + (5A+B) = 0cdot n + 1
ou seja,
A + B = 0, 5A + B = 1

Passo 3

Resolvendo o sistema, da primeira equação temos B=-A. Substituindo na segunda:
5A + (-A) = 1 Rightarrow 4A = 1 Rightarrow A = tfrac14, ; B = -tfrac14
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1(4n+1)(4n+5) = 14l(14n+1 - 14n+5r)

Passo 4

Definindo a soma parcial SN = sumn=0^N 1(4n+1)(4n+5), temos
SN = 14 sumn=0^N l(14n+1 - 14n+5r)
Note que ocorre cancelamento em cascata (efeito telescópico):
SN = 14 l(1 - 15 + 15 - 19 + cdots + 14N+1 - 14N+5r) = 14 l(1 - 14N+5r)

Passo 5

Ao fazer N to infty, o termo 1/(4N+5) tende a zero. Portanto,
limNtoinfty SN = 14l(1 - 0r) = 14
Isso mostra que a série converge e seu valor é 1/4.

Resposta

A série converge e seu valor é tfrac14.

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