Verifique se as seguintes séries são convergentes ou divergentes:
\sum_{k=2}^{\infty} \frac{1}{(\ln k)^{k}}

Passo 1

O enunciado pede verificar a convergência da série \displaystyle \sum_{k=2}^{\infty}\frac{1}{(\ln k)^{k}}.
O conteúdo aplicado é teste de convergência de séries numéricas, e como cada termo está elevado à potência k, faz sentido usar o teste da raiz n-ésima.

Passo 2

Defina
a_k = \frac{1}{(\ln k)^{k}}.
No teste da raiz, calculamos
\lim_{k\to\infty}\sqrt[k]{a_k} =\lim_{k\to\infty}\frac{1}{\ln k} =0.

Passo 3

Como o limite obtido é 0<1, o teste da raiz garante que a série converge absolutamente, e portanto converge.

Resposta

A série \displaystyle \sum_{k=2}^{\infty}\frac{1}{(\ln k)^{k}} é convergente.

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