Verifique quais dos seguintes subconjuntos são subespaços de M2 times 2(R) :
todas as matrizes da forma [lla & b c & d], com a+b+c+d=0.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto
S = a & b c & din M2times2(R) ;|; a+b+c+d=0
é subespaço de M2times2(R). Para isso, vamos checar se S contém o vetor zero, se é fechado sob soma e sob multiplicação escalar.

Passo 2

Verificação do vetor zero: a matriz
O = 0 & 0 0 & 0
tem soma das entradas 0+0+0+0=0, logo Oin S. Portanto Sneqemptyset.

Passo 3

Fechamento sob soma: sejam
A = a1 & b1 c1 & d1, B = a2 & b2 c2 & d2
duas matrizes em S. Então
a1+b1+c1+d1=0 e a2+b2+c2+d2=0
A soma é
A+B = a1+a2 & b1+b2 c1+c2 & d1+d2,
cuja soma das entradas é
(a1+a2)+(b1+b2)+(c1+c2)+(d1+d2) =(a1+b1+c1+d1)+(a2+b2+c2+d2)=0+0=0
Logo A+Bin S.

Passo 4

Fechamento sob multiplicação escalar: seja lambdainR e
A = a & b c & din S,
isto é, a+b+c+d=0. Então
lambda A = lambda a & lambda b lambda c & lambda d
e a soma das entradas é
lambda a + lambda b + lambda c + lambda d =lambda,(a+b+c+d)=lambdacdot0=0
Logo lambda Ain S.

Resposta

O conjunto S é um subespaço vetorial de M2times2(R).

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