Verifique quais dos seguintes subconjuntos são subespaços de mathbb{R}^{3} :
todos os vetores da forma ( a, b, c ), \operatorname{com} c=a+b.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto
S = \{(a,b,c)\in \mathbb{R}^3 \mid c = a + b\}
é subespaço de \mathbb{R}^3. Para isso, vamos usar o critério de subespaço que exige:
  1. O vetor zero está em S.
  2. S é fechado sob soma de vetores.
  3. S é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Verificamos se o vetor zero (0,0,0) pertence a S. Como aqui a=0, b=0 e c=0, temos
c = 0 = 0 + 0 = a + b,
logo (0,0,0)\in S.

Passo 3

Sejam (a_1,b_1,c_1) e (a_2,b_2,c_2) em S. Então
c_1 = a_1 + b_1 \quad\text{e}\quad c_2 = a_2 + b_2.
A soma é
(a_1,b_1,c_1) + (a_2,b_2,c_2) = (a_1+a_2,\;b_1+b_2,\;c_1+c_2).
Como c_1+c_2 = (a_1+b_1) + (a_2+b_2) = (a_1+a_2)+(b_1+b_2), o vetor soma também satisfaz a condição, e portanto está em S.

Passo 4

Seja \lambda\in\mathbb{R} e (a,b,c)\in S, com c=a+b. Então
\lambda\,(a,b,c) = (\lambda a,\;\lambda b,\;\lambda c).
Como \lambda c = \lambda(a+b) = (\lambda a)+(\lambda b), o vetor múltiplo também obedece à relação, logo está em S.

Resposta

O conjunto S satisfaz todas as condições de subespaço de \mathbb{R}^3. Portanto, S é subespaço de \mathbb{R}^3.

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