Verifique quais dos seguintes subconjuntos são subespaços de M_{2 \times 2}(\mathbb{R}) :
todas as matrizes da forma \left[\begin{array}{ll}a & 0 \\\\ 0 & b\end{array}\right].
é um subespaço de M_{2\times2}(\mathbb{R}). O conteúdo aqui é teoria de espaços vetoriais: um subconjunto é subespaço se (i) contém o vetor zero, (ii) é fechado sob soma e (iii) é fechado sob multiplicação escalar.]
Passo 2
Verificamos se a matriz zero pertence a S. Basta escolher a=0 e b=0, obtendo
\begin{pmatrix}0 & 0 \\[3pt] 0 & 0\end{pmatrix}\in S.
Logo, a condição de conter o vetor zero está satisfeita.]
Passo 3
Agora, tomemos duas matrizes quaisquer em S:
A = \begin{pmatrix}a_1 & 0 \\[3pt] 0 & b_1\end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix}a_2 & 0 \\[3pt] 0 & b_2\end{pmatrix}.
A soma é
A + B = \begin{pmatrix}a_1 + a_2 & 0 \\[3pt] 0 & b_1 + b_2\end{pmatrix},
que ainda tem a forma \bigl[\begin{smallmatrix}a&0\\\ 0&b\end{smallmatrix}\bigr]. Portanto, S é fechado sob soma.]
Passo 4
Seja \lambda\in\mathbb{R} e A=\bigl[\begin{smallmatrix}a&0\\\ 0&b\end{smallmatrix}\bigr]\in S. Então
\lambda A = \begin{pmatrix}\lambda a & 0 \\[3pt] 0 & \lambda b\end{pmatrix},
que também está em S. Assim, S é fechado sob multiplicação escalar.]
Passo 5
Como S contém a matriz zero e é fechado sob soma e multiplicação escalar, concluímos que S é de fato um subespaço vetorial de M_{2\times2}(\mathbb{R}).
Resposta
O conjunto de todas as matrizes da forma \begin{pmatrix}a&0\\\ 0&b\end{pmatrix} é um subespaço de M_{2\times2}(\mathbb{R}).