Verifique quais dos seguintes subconjuntos são subespaços de
:
todos os vetores da forma (
).
todos os vetores da forma (
Passo 1
O enunciado pede para verificar se o conjunto
é subespaço de . O conteúdo envolve noções de espaço vetorial e subespaço, em que precisamos mostrar que esse conjunto satisfaz três propriedades: contém o vetor zero, é fechado sob soma e é fechado sob multiplicação por escalar.
é subespaço de
Passo 2
Recordando a definição, um subconjunto
de um espaço vetorial
é subespaço se, e somente se, satisfaz:
- O vetor zero de
pertence a . - Para quaisquer
, o vetor também está em . - Para todo escalar
e todo , o vetor está em .
Passo 3
Verificação do vetor zero: escolhendo
obtemos o vetor
,
que é o vetor nulo de . Logo, o vetor zero está no conjunto.
que é o vetor nulo de
Passo 4
Verificação da fechadura sob soma: sejam
elementos do conjunto. Então
e como
, temos
também na forma
. Portanto está em nosso conjunto.
Passo 5
Verificação da fechadura sob multiplicação escalar: seja
e
Então
e como
, o resultado permanece na forma
. Logo,
.
Resposta
O conjunto
é subespaço de
.