Verifique quais dos seguintes subconjuntos são subespaços de mathbb{R}^{3} :
todos os vetores da forma ( a, 0,0 ).

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto \{(a,0,0)\mid a\in\mathbb{R}\}
é subespaço de \mathbb{R}^3. O conteúdo envolve noções de espaço vetorial e subespaço, em que precisamos mostrar que esse conjunto satisfaz três propriedades: contém o vetor zero, é fechado sob soma e é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Recordando a definição, um subconjunto W de um espaço vetorial V é subespaço se, e somente se, satisfaz:
  1. O vetor zero de V pertence a W.
  2. Para quaisquer u,v\in W, o vetor u+v também está em W.
  3. Para todo escalar \lambda\in\mathbb{R} e todo u\in W, o vetor \lambda u está em W.

Passo 3

Verificação do vetor zero: escolhendo a=0 obtemos o vetor (0,0,0),
que é o vetor nulo de \mathbb{R}^3. Logo, o vetor zero está no conjunto.

Passo 4

Verificação da fechadura sob soma: sejam
u=(a,0,0),\quad v=(b,0,0)
elementos do conjunto. Então
u+v=(a,0,0)+(b,0,0)=(a+b,0,0),
e como a+b\in\mathbb{R}, temos u+v também na forma (c,0,0). Portanto está em nosso conjunto.

Passo 5

Verificação da fechadura sob multiplicação escalar: seja \lambda\in\mathbb{R} e
u=(a,0,0)\in W.
Então
\lambda u=\lambda\,(a,0,0)=(\lambda a,0,0),
e como \lambda a\in\mathbb{R}, o resultado permanece na forma (c,0,0). Logo, \lambda u\in W.

Resposta

O conjunto \{(a,0,0)\mid a\in\mathbb{R}\} é subespaço de \mathbb{R}^3.

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