Obtenha uma equação vetorial da reta que dista 3 do plano π e é concorrente com as retas r e s.
π é o plano O x z
r: X=(2,3,1)+\lambda(1,4,2)
s: X=(1,3,0)+\lambda(2,3,2)

Passo 1

O enunciado pede uma reta \ell que intercepte as retas
r:\;X=(2,3,1)+\lambda\,(1,4,2), \quad s:\;X=(1,3,0)+\mu\,(2,3,2)
e cuja distância ao plano \pi\colon y=0 seja 3. Note que, se \ell não for paralela a \pi, ela a cruza e a distância seria zero. Logo precisamos de
  1. Uma reta que cruze r e s.
  2. Que seja paralela ao plano y=0, pois só assim sua distância a \pi não será nula.
  3. Que a distância de um ponto de \ell a \pi seja 3.

Passo 2

Seja A um ponto genérico em r e B um ponto genérico em s:
A(\lambda)=(2+\lambda,\;3+4\lambda,\;1+2\lambda), \quad B(\mu)=(1+2\mu,\;3+3\mu,\;2\mu).
A reta \ell que passa por A e B tem vetor diretor
\mathbf d = B - A = \bigl(-1 +2\mu -\lambda,\;3\mu -4\lambda,\;2\mu -1 -2\lambda\bigr).

Passo 3

Para \ell ser paralela ao plano y=0, seu vetor normal (0,1,0) deve ser ortogonal a \mathbf d, isto é, a componente y de \mathbf d deve ser zero:
3\mu - 4\lambda = 0 \quad\Longrightarrow\quad \mu = \tfrac{4}{3}\,\lambda.

Passo 4

Como \ell é paralela a \pi, a distância de \ell a \pi é a mesma de um de seus pontos, por exemplo A, ao plano y=0. A fórmula da distância de A ao plano y=0 é
\frac{\bigl|y_A -0\bigr|}{\sqrt{0^2+1^2+0^2}} = \bigl|\,3+4\lambda\bigr|.
Queremos \bigl|3+4\lambda\bigr| = 3, logo
3+4\lambda = \pm 3 \quad\Longrightarrow\quad \begin{cases} 3+4\lambda = 3\quad\Rightarrow\lambda = \tfrac34,\\\\ 3+4\lambda = -3\quad\Rightarrow\lambda = -\tfrac32. \end{cases}

Passo 5

Para cada valor de \lambda encontramos \mu=\tfrac{4}{3}\lambda e então A, B e \mathbf d:
  1. \lambda=\tfrac34, \mu=1:
    A=(2+\tfrac34,\,3+3,\,1+\tfrac32)=(\tfrac{11}{4},6,\tfrac52),
    B=(3,6,2).
    \mathbf d=B-A=(\tfrac{1}{4},0,-\tfrac12)\sim(1,0,-2).
    Logo
\ell_1:\; X=\Bigl(\tfrac{11}{4},6,\tfrac52\Bigr) +t\,(1,0,-2).
  1. \lambda=-\tfrac32, \mu=-2:
    A=(2-\tfrac32,\,3-6,\,1-3)=(\tfrac12,-3,-2),
    B=(-3,-3,-4).
    \mathbf d=B-A=(-\tfrac{7}{2},0,-2)\sim(7,0,4).
    Logo
\ell_2:\; X=\Bigl(\tfrac12,-3,-2\Bigr) +t\,(7,0,4).

Resposta

As duas retas que satisfazem as condições são
\ell_1:\; X=\Bigl(\tfrac{11}{4},6,\tfrac52\Bigr) + t\,(1,0,-2), \qquad \ell_2:\; X=\Bigl(\tfrac12,-3,-2\Bigr) + t\,(7,0,4).

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