Verifique se as seguintes transformações são lineares ou não! Justifique!
T: R^2 R^2 onde T(x, y)=(2 x, 3 x+4 y);

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a transformação
Tcolon R^2toR^2 dada por
T(x,y)=(2x,;3x+4y)
é linear ou não. O conteúdo é transformação linear em espaços vetoriais, e vamos usar a definição que exige aditividade e homogeneidade.

Passo 2

Definição de linearidade: T é linear se, para quaisquer vetores u,vinR^2 e escalar alphainR, valem
  1. Aditividade:
T(u+v)=T(u)+T(v)
  1. Homogeneidade:
T(alpha u)=alpha,T(u)

Passo 3

Verificação da aditividade. Seja u=(x1,y1) e v=(x2,y2). Então
T(u+v)=T(x1+x2,;y1+y2) =(2(x1+x2),;3(x1+x2)+4(y1+y2))
=(2x1+2x2,;3x1+3x2+4y1+4y2) =(2x1,3x1+4y1)+(2x2,3x2+4y2) =T(u)+T(v)

Passo 4

Verificação da homogeneidade. Seja u=(x,y) e alphainR. Então
T(alpha u)=T(alpha x,alpha y) =(2(alpha x),;3(alpha x)+4(alpha y))
=(alpha,2x,;alpha(3x+4y)) =alpha,(2x,3x+4y) =alpha,T(x,y) =alpha,T(u)

Passo 5

Como T satisfaz tanto a aditividade quanto a homogeneidade, concluímos que T é uma transformação linear.

Resposta

T é linear.

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