Considere a transformação linear
dada por
.
Por fim, o que dizer sobre a bijetividade?
Por fim, o que dizer sobre a bijetividade?
Passo 1
O enunciado dá uma transformação linear
definida por
O conteúdo aqui é transformação linear em
e vamos usar a ideia de matriz associada e determinante para verificar injetividade e sobrejetividade.
Passo 2
Vamos escrever
em coordenadas canônicas. Se chamarmos
então
Logo, a matriz de
na base canônica é
Passo 3
Para verificar se
T é invertível (e portanto bijetiva), calculamos o determinante de
A :
Como
det(A) = -2 neq 0 , a matriz
A é invertível.
Passo 4
Uma transformação linear em
R^2 cuja matriz associada é invertível é simultaneamente injetiva e sobrejetiva. Ou seja,
T é bijetiva.
Resposta
A transformação
T é bijetiva (invertível), pois a matriz associada tem determinante
-2 neq 0 .