Considere a transformação linear T: R^2 R^2 dada por T(x, y)=(x+y, x-y).
Por fim, o que dizer sobre a bijetividade?

Passo 1

O enunciado dá uma transformação linear Tcolon R^2 to R^2 definida por
T(x,y) = (x + y,; x - y)
O conteúdo aqui é transformação linear em R^2 e vamos usar a ideia de matriz associada e determinante para verificar injetividade e sobrejetividade.

Passo 2

Vamos escrever em coordenadas canônicas. Se chamarmos
então
Logo, a matriz de na base canônica é

Passo 3

Para verificar se T é invertível (e portanto bijetiva), calculamos o determinante de A:
det(A) = (1)cdot(-1) - (1)cdot(1) = -1 - 1 = -2
Como det(A) = -2 neq 0, a matriz A é invertível.

Passo 4

Uma transformação linear em R^2 cuja matriz associada é invertível é simultaneamente injetiva e sobrejetiva. Ou seja, T é bijetiva.

Resposta

A transformação T é bijetiva (invertível), pois a matriz associada tem determinante -2 neq 0.

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