Verifique a seguir qual enunciado da hipótese que Max Planck adotou em 1900 para explicar o problema na radiação do corpo negro. (Em todas as alternativas, h denota a constante de Planck.)
a) A luz de frequência f é constituída por fótons de energia
.
b) Uma partícula carregada oscilando com frequência f nas paredes metálicas de uma cavidade só pode ter energia total múltipla de hf.
c) Ao colidir com um elétron numa placa metálica, um fóton de luz de frequência f transmite a ele todo o seu conteúdo de energia
.
d) Ao colidir com um elétron numa placa metálica, um fóton de luz de frequência f transmite a ele o conteúdo parcial de sua energia
e o conteúdo total de sua quantidade de movimento.
e) Um elétron num átomo, ao absorver um fóton de luz de frequência f com energia
, pode aumentar o seu nível de energia, realizando uma transição para uma órbita de maior raio.
a) A luz de frequência f é constituída por fótons de energia
b) Uma partícula carregada oscilando com frequência f nas paredes metálicas de uma cavidade só pode ter energia total múltipla de hf.
c) Ao colidir com um elétron numa placa metálica, um fóton de luz de frequência f transmite a ele todo o seu conteúdo de energia
d) Ao colidir com um elétron numa placa metálica, um fóton de luz de frequência f transmite a ele o conteúdo parcial de sua energia
e) Um elétron num átomo, ao absorver um fóton de luz de frequência f com energia
Passo 1
O enunciado pede para identificar qual alternativa corresponde à hipótese que Max Planck ADOTOU em 1900 para explicar o problema da radiação do corpo negro. Foi informado que
é a constante de Planck. As alternativas são:
a) A luz de frequência é constituída por fótons de energia
.
b) Uma partícula carregada oscilando com frequência nas paredes metálicas de uma cavidade só pode ter energia total múltipla de
.
c) Ao colidir com um elétron numa placa metálica, um fóton de luz de frequência transmite a ele todo o seu conteúdo de energia
.
d) Ao colidir com um elétron numa placa metálica, um fóton de luz de frequência transmite a ele o conteúdo parcial de sua energia
e o conteúdo total de sua quantidade de movimento.
e) Um elétron num átomo, ao absorver um fóton de luz de frequência com energia
, pode aumentar o seu nível de energia, realizando uma transição para uma órbita de maior raio.
a) A luz de frequência
b) Uma partícula carregada oscilando com frequência
c) Ao colidir com um elétron numa placa metálica, um fóton de luz de frequência
d) Ao colidir com um elétron numa placa metálica, um fóton de luz de frequência
e) Um elétron num átomo, ao absorver um fóton de luz de frequência
Passo 2
Contexto físico e ideia central da hipótese de Planck (sem cálculo ainda).
Planck enfrentava o problema de explicar a distribuição espectral da radiação emitida por um corpo negro (a curva experimental). A física clássica predispõe que cada modo de oscilação do campo eletromagnético tem energia média dada pelo teorema da equipartição, levando ao divergir da densidade de energia para altas frequências (o chamado “catástrofe ultravioleta”). Para resolver isso, Planck fez uma hipótese audaciosa sobre as trocas de energia entre os osciladores na parede da cavidade e o campo eletromagnético: ele postulou que as ENERGIAS desses osciladores não variam continuamente, mas assumem valores discretos — múltiplos inteiros de uma unidade básica proporcional à frequência. Em palavras matemáticas (a hipótese de Planck):
Planck enfrentava o problema de explicar a distribuição espectral da radiação emitida por um corpo negro (a curva experimental). A física clássica predispõe que cada modo de oscilação do campo eletromagnético tem energia média dada pelo teorema da equipartição, levando ao divergir da densidade de energia para altas frequências (o chamado “catástrofe ultravioleta”). Para resolver isso, Planck fez uma hipótese audaciosa sobre as trocas de energia entre os osciladores na parede da cavidade e o campo eletromagnético: ele postulou que as ENERGIAS desses osciladores não variam continuamente, mas assumem valores discretos — múltiplos inteiros de uma unidade básica proporcional à frequência. Em palavras matemáticas (a hipótese de Planck):
Aqui
é a energia possível do oscilador de frequência
,
é a constante de Planck e
é um inteiro.
Passo 3
Por que essa hipótese resolve o problema (introdução à estatística usada).
Planck tratou os osciladores como sistemas estatísticos térmicos. Em equilíbrio térmico à temperatura , a probabilidade de um oscilador estar no estado de energia
é dada pelo fator de Boltzmann
, onde
é a constante de Boltzmann. Para obter a energia média de um oscilador usa-se a média estatística:
Planck tratou os osciladores como sistemas estatísticos térmicos. Em equilíbrio térmico à temperatura
Substituindo
temos somas geométricas que podem ser avaliadas explicitamente.
Passo 4
Avaliação explícita da energia média (contas passo a passo).
Defina
Defina
Então o denominador é
(série geométrica para
).
O numerador é . A soma
é uma série conhecida e vale
para
. Portanto
O numerador é
Dividindo numerador por denominador:
Explicando o resultado:
é a energia média de um oscilador de frequência
em temperatura
. Note que quando
(regime de baixas frequências) a expressão aproxima-se de
recuperando a equipartição clássica; porém para
a média cai exponencialmente, evitando a divergência de energia nas altas frequências — isso elimina a catástrofe ultravioleta.
Passo 5
Como a hipótese de Planck está ligada à lei de radiação (breve explicação física).
Cada modo do campo eletromagnético de frequência pode ser tratado como acoplado a um oscilador que tem, em média, energia
. Multiplicando pela densidade de modos por unidade de volume e por unidade de frequência
(onde
é a velocidade da luz) obtém-se a densidade espectral de energia da radiação:
Cada modo do campo eletromagnético de frequência
que é exatamente a lei de radiação de Planck. Isso mostra como a hipótese de quantização das energias dos osciladores produz a fórmula que concorda com os dados experimentais para todas as frequências.
Passo 6
Comparação direta das alternativas com a hipótese original de Planck e com desenvolvimentos posteriores.
- Alternativa (b) afirma que uma partícula oscilando com frequência
nas paredes só pode ter energia múltipla de . Isso coincide exatamente com a hipótese matemática que Planck introduziu em 1900: . - Alternativa (a) diz que a luz é constituída por fótons de energia
. Essa ideia é a de fótons, proposta por Einstein em 1905 para explicar o efeito fotoelétrico; não foi a formulação que Planck adotou em 1900 (Planck quantizou os osciladores matéria/corpo emissor, não explícita e necessariamente os quanta do campo). - Alternativas (c) e (d) descrevem mecanismos de colisão de fótons com elétrons na placa metálica — isso refere-se ao efeito fotoelétrico e à transferência de energia/momento por fótons, novamente associado a Einstein e a análises posteriores, não à hipótese original de Planck.
- Alternativa (e) refere-se a transições eletrônicas em átomos ao absorver fótons — isto está mais ligado ao modelo de Bohr (1913) e à quantização de níveis eletrônicos, não à hipótese inicial de Planck sobre osciladores na parede da cavidade.
Passo 7
Conclusão direta: a hipótese adotada por Planck em 1900 é exatamente a quantização das energias dos osciladores nas paredes, ou seja, que as energias só podem ser
. Isso corresponde à alternativa (b).
Resposta
b)