Verifique que
Seja
, que é um grupo com a operação de composição de funções.\nMostre que
.)
Seja , que é um grupo com a operação de composição de funções.\nMostre que .)
Passo 1
O enunciado nos dá:
- O conjunto
das funções afins (retas do plano) definidas por
com a operação sendo a composição de funções (isto é,
).
- O subconjunto
definido por
O que pedir: mostrar que
é um subgrupo de
. Em outras palavras, provar que
é fechado pela operação em
, contém a identidade e que todo elemento de
tem inverso em
(ou usar outro critério de subgrupo equivalente).
Passo 2
Lembrando a ideia: para provar que um subconjunto
de um grupo
é subgrupo, basta mostrar (uma versão comum do critério) que
-
é não vazio; - para quaisquer
tem-se (fechamento); - para todo
o inverso (no grupo ) pertence a .
Vou verificar cada ponto com calma e explicando as contas.
Passo 3
Verificar que
é não vazio e contém a identidade.
A identidade do grupo
(função identidade) é a função
dada por
Escrever
na forma afim:
. Aqui
e
, e
. Portanto
. Assim
não é vazio e contém a identidade.
Passo 4
Fechamento por composição: pegue duas funções quaisquer em
,
com
e
. Calcule a composição
:
Distribuindo,
Esse resultado é novamente uma função afim da forma
com coeficiente angular
. Como
e
, tem-se
. Logo
tem coeficiente
, isto é,
. Portanto
é fechado pela composição.
Passo 5
Existência de inversos: seja
qualquer, com
Queremos a função
tal que
para todo
. Para achar
resolvemos
em função de
:
Então a inversa
é a função
Escrevendo com a variável
,
Isto é uma função afim com coeficiente
. Como
temos
, portanto
. Assim todo elemento de
tem inverso em
.
Passo 6
Resumo e conclusão: verificamos que
contém a identidade, é fechado pela operação de composição e que os inversos dos seus elementos permanecem em
. Como estas propriedades garantem que
é um subgrupo de
, concluímos que
é de fato subgrupo de
.