Verifique que
Seja G=\{f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=a x+b, a, b \in \mathbb{R}\}\} o conjunto das retas do plano \(\mathbb{R}^{2}, que é um grupo com a operação de composição de funções.\nMostre que H=\{f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} ; f(x)=a x+b, a, b \in \mathbb{R}\} e \(a \neq 0\}\} é subrupo de \(G.)

Passo 1

O enunciado nos dá:
  • O conjunto G das funções afins (retas do plano) definidas por
G=\{\,f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\mid f(x)=ax+b,\\ a,b\in\mathbb{R}\,\}
com a operação sendo a composição de funções (isto é, (f\circ g)(x)=f(g(x))).
  • O subconjunto H definido por
H=\{\,f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\mid f(x)=ax+b,\\ a,b\in\mathbb{R},\\ a\neq0\,\}.
O que pedir: mostrar que H é um subgrupo de G. Em outras palavras, provar que H é fechado pela operação em G, contém a identidade e que todo elemento de H tem inverso em H (ou usar outro critério de subgrupo equivalente).

Passo 2

Lembrando a ideia: para provar que um subconjunto H de um grupo G é subgrupo, basta mostrar (uma versão comum do critério) que
  1. H é não vazio;
  2. para quaisquer f,g\in H tem-se f\circ g\in H (fechamento);
  3. para todo f\in H o inverso f^{-1} (no grupo G) pertence a H.
Vou verificar cada ponto com calma e explicando as contas.

Passo 3

Verificar que H é não vazio e contém a identidade.
A identidade do grupo G (função identidade) é a função e:\mathbb{R}\to\mathbb{R} dada por
e(x)=x.
Escrever e na forma afim: e(x)=1\cdot x+0. Aqui a=1 e b=0, e a\neq0. Portanto e\in H. Assim H não é vazio e contém a identidade.

Passo 4

Fechamento por composição: pegue duas funções quaisquer em H,
f(x)=a_1x+b_1,\qquad g(x)=a_2x+b_2,
com a_1\neq0 e a_2\neq0. Calcule a composição f\circ g:
(f\circ g)(x)=f(g(x))=f(a_2x+b_2)=a_1(a_2x+b_2)+b_1.
Distribuindo,
(f\circ g)(x)=(a_1a_2)x+(a_1b_2+b_1).
Esse resultado é novamente uma função afim da forma ax+b com coeficiente angular a=a_1a_2. Como a_1\neq0 e a_2\neq0, tem-se a_1a_2\neq0. Logo f\circ g tem coeficiente a\neq0, isto é, f\circ g\in H. Portanto H é fechado pela composição.

Passo 5

Existência de inversos: seja f\in H qualquer, com
f(x)=ax+b,\qquad a\neq0.
Queremos a função f^{-1} tal que f^{-1}(f(x))=x para todo x. Para achar f^{-1} resolvemos y=f(x) em função de x:
y=ax+b \quad\Longrightarrow\quad x=\frac{y-b}{a}.
Então a inversa f^{-1} é a função
f^{-1}(y)=\frac{1}{a}y-\frac{b}{a}.
Escrevendo com a variável x,
f^{-1}(x)=\frac{1}{a}x-\frac{b}{a}.
Isto é uma função afim com coeficiente a^{-1}=\dfrac{1}{a}. Como a\neq0 temos \dfrac{1}{a}\neq0, portanto f^{-1}\in H. Assim todo elemento de H tem inverso em H.

Passo 6

Resumo e conclusão: verificamos que H contém a identidade, é fechado pela operação de composição e que os inversos dos seus elementos permanecem em H. Como estas propriedades garantem que H é um subgrupo de G, concluímos que H é de fato subgrupo de G.

Resposta

H é subgrupo de G.

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