Considere as retas
r:l 3 x-y-z=0 x+y-z=2 e s=(c -1+t 6-2 t 3-t ), t in R
Determine a reta t, perpendicular a ambas r e s pelo seu ponto de intersecção.

Passo 1

O enunciado pede a reta
e
de modo que quanto a . Para isso, vamos (1) obter vetores diretores de e , (2) achar o ponto de interseção, e (3) usar o produto vetorial para encontrar a direção de .

Passo 2

A reta r é interseção de planos com normais
n1 = (3,-1,-1), n2 = (1,1,-1)
Logo o vetor diretor de r é
dr = n1 times n2 = i & j & k 3 & -1 & -1 1 & 1 & -1 = (2,2,4) Longrightarrow dr = (1,1,2)
após fatorar 2. Da equação paramétrica de s vemos que seu vetor diretor é
ds = (1,-2,-1)

Passo 3

Para achar o ponto P em que s intersecta r, impomos que o ponto de s,
(x,y,z)=(-1+t,,6-2t,,3-t),
satisfaça as equações de r. Na primeira temos
3(-1+t) - (6-2t) - (3-t) = 0 ;Longrightarrow; 6t -12 = 0 ;Longrightarrow; t=2
Substituindo em (x,y,z) obtemos
P = (1,2,1)

Passo 4

O vetor diretor de t deve ser perpendicular a dr e a ds, logo
v = dr times ds = (1,1,2)times(1,-2,-1) = (3,3,-3) ;Longrightarrow; v = (1,1,-1)
(dividindo por 3). Então a reta t tem equação paramétrica
t:;(x,y,z)=(1,2,1)+lambda,(1,1,-1), lambdainR

Resposta

t:; x = 1 + lambda, y = 2 + lambda, z = 1 - lambda, lambdainR

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