Verifique se as sentenças abaixo são verdadeiras ou falsas. Justifique sua resposta.
(a) ( ) \operatorname{det}(-A)=\operatorname{det}(A).
(b) ( ) \operatorname{det}(A+B)=\operatorname{det}(A)+\operatorname{det}(B).
(c) ( ) Sejam A, B e P matrizes reais de ordem n, tais que B=P^{T} A P, sendo P inversível. Então \operatorname{det}(A)=\operatorname{det}(B).
(d) ( ) Dada a equação matricial X^{2}+2 X=0, onde X é uma matriz quadrada de ordem n, não singular. Então esta equação tem única solução.
(e) ( ) Se A, B \in M_{n}(\mathbb{R}) são tais que A B=0 (matriz nula), então B A também é a matriz nula.
(f) ( ) Se A, B \in M_{n}(\mathbb{R}) são tais que A B=0 (matriz nula), então A=0 ou B=0.
(g) ( ) A soma de duas matrizes simétricas de mesma ordem é uma matriz simétrica.
(h) ( ) O produto de duas matrizes simétricas de mesma ordem é uma matriz simétrica.
Nas afirmativas abaixo, A, B e C são matrizes de ordens apropriadas para as operações indicadas.
(i) ( ) Se A C=B C e C é inversível, então A=B.
(j) ( ) Se A B=0 e B é inversível, então A=0.
(k) ( ) Se A B=C e duas das matrizes são inversíveis, então a terceira também é.
(l) ( ) Se A B=C e duas das matrizes são singulares (não inversíveis), então a terceira também é.

Passo 1

O enunciado pede para verificar, para diversas propriedades de matrizes, se as sentenças são verdadeiras ou falsas, usando fatos sobre determinantes, inversibilidade, simetria e multiplicação de matrizes. Vamos aplicar:
  • Propriedades de determinante: \det(-A)=(-1)^n\det(A), linearidade em linhas, invariância por similaridade, etc.
  • Noções de matriz singular (não invertível) e invertível.
  • Caracterização de matriz simétrica: A^T=A.
  • Consequências de produto nulo e cancelamento à esquerda ou à direita quando há inversas.

Passo 2

(a) A fórmula geral para um determinante é
\det(-A)=(-1)^n\det(A).
Em dimensões ímpares (n ímpar) esse sinal é -1, em pares é +1. Logo, em geral \det(-A)\neq\det(A).

Passo 3

(b) O determinante não é uma aplicação linear em relação à soma de matrizes: não vale
\det(A+B)=\det(A)+\det(B)
(exceto casos muito especiais). Portanto a afirmação é falsa.

Passo 4

(c) Se B=P^TAP com P invertível, então
\det(B)=\det(P^T)\,\det(A)\,\det(P)=\det(P)\,\det(A)\,\det(P)=(\det P)^2\det(A).
Só dá \det(B)=\det(A) se (\det P)^2=1. Num P qualquer invertível, \det P pode ser diferente de \pm1. Logo, em geral falso.

Passo 5

(d) A equação é
X^2+2X=0\quad\Longleftrightarrow\quad X(X+2I)=0.
Se X é invertível, multiplica-se à esquerda por X^{-1} e obtém-se X+2I=0, de onde X=-2I, única solução.

Passo 6

(e) Em geral, AB=0 não implica BA=0. Há contraexemplo em matrizes 2\times2, por exemplo
A=\begin{pmatrix}1&0\\\ 0&0\end{pmatrix},\; B=\begin{pmatrix}0&1\\\ 0&0\end{pmatrix}
AB=0 mas BA\neq0.

Passo 7

(f) Também não vale que AB=0 force A=0 ou B=0. Mostra-se com o mesmo exemplo do passo anterior: nem A nem B são nulas, mas AB=0.

Passo 8

(g) Se A e B são simétricas, então
(A+B)^T=A^T+B^T=A+B,
logo A+B é simétrica.

Passo 9

(h) Se A e B simétricas, em geral
(AB)^T=B^TA^T=BA\neq AB,
a menos que A e B comutem. Portanto a afirmação geral é falsa.

Passo 10

(i) Se AC=BC e C é invertível, multiplica-se à direita por C^{-1} e obtém-se A=B.

Passo 11

(j) Se AB=0 e B é invertível, multiplica-se à direita por B^{-1} e vem A=0.

Passo 12

(k) Se AB=C e duas das matrizes são invertíveis, então a terceira também é:
  • Se A e B invertíveis, então C=AB é invertível.
  • Se A e C invertíveis, então B=A^{-1}C é invertível.
  • Se B e C invertíveis, então A=CB^{-1} é invertível.

Passo 13

(l) A afirmação “se duas são singulares, então a terceira também é singular” falha: por exemplo, em 2\times2 tome
A=0,\quad B=I,\quad C=AB=0.
Aqui A e C são singulares, mas B é invertível.

Resposta

(a) Falsa.
(b) Falsa.
(c) Falsa.
(d) Verdadeira.
(e) Falsa.
(f) Falsa.
(g) Verdadeira.
(h) Falsa.
(i) Verdadeira.
(j) Verdadeira.
(k) Verdadeira.
(l) Falsa.

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