Verifique se as sentenças abaixo são verdadeiras ou falsas. Justifique sua resposta.
(a) ( )
.
(b) ( )
.
(c) ( ) Sejam
e
matrizes reais de ordem
, tais que
, sendo
inversível. Então
.
(d) ( ) Dada a equação matricial
, onde
é uma matriz quadrada de ordem
, não singular. Então esta equação tem única solução.
(e) ( ) Se
são tais que
(matriz nula), então
também é a matriz nula.
(f) ( ) Se
são tais que
(matriz nula), então
ou
.
(g) ( ) A soma de duas matrizes simétricas de mesma ordem é uma matriz simétrica.
(h) ( ) O produto de duas matrizes simétricas de mesma ordem é uma matriz simétrica.
Nas afirmativas abaixo,
e
são matrizes de ordens apropriadas para as operações indicadas.
(i) ( ) Se
e
é inversível, então
.
(j) ( ) Se
e
é inversível, então
.
(k) ( ) Se
e duas das matrizes são inversíveis, então a terceira também é.
(l) ( ) Se
e duas das matrizes são singulares (não inversíveis), então a terceira também é.
(a) ( )
(b) ( )
(c) ( ) Sejam
(d) ( ) Dada a equação matricial
(e) ( ) Se
(f) ( ) Se
(g) ( ) A soma de duas matrizes simétricas de mesma ordem é uma matriz simétrica.
(h) ( ) O produto de duas matrizes simétricas de mesma ordem é uma matriz simétrica.
(i) ( ) Se
(j) ( ) Se
(k) ( ) Se
(l) ( ) Se
Passo 1
O enunciado pede para verificar, para diversas propriedades de matrizes, se as sentenças são verdadeiras ou falsas, usando fatos sobre determinantes, inversibilidade, simetria e multiplicação de matrizes. Vamos aplicar:
- Propriedades de determinante:
, linearidade em linhas, invariância por similaridade, etc. - Noções de matriz singular (não invertível) e invertível.
- Caracterização de matriz simétrica:
. - Consequências de produto nulo e cancelamento à esquerda ou à direita quando há inversas.
Passo 2
(a) A fórmula geral para um determinante é
Em dimensões ímpares
ímpar) esse sinal é
, em pares é
. Logo, em geral
.
Passo 3
(b) O determinante não é uma aplicação linear em relação à soma de matrizes: não vale
(exceto casos muito especiais). Portanto a afirmação é falsa.
Passo 4
(c) Se
com
invertível, então
Só dá
se
. Num
qualquer invertível,
pode ser diferente de
. Logo, em geral falso.
Passo 5
(d) A equação é
Se
é invertível, multiplica-se à esquerda por
e obtém-se
, de onde
, única solução.
Passo 6
(e) Em geral,
não implica
. Há contraexemplo em matrizes
, por exemplo
dá
mas
.
Passo 7
(f) Também não vale que
force
ou
. Mostra-se com o mesmo exemplo do passo anterior: nem
nem
são nulas, mas
.
Passo 8
(g) Se
e
são simétricas, então
logo
é simétrica.
Passo 9
(h) Se
e
simétricas, em geral
a menos que
e
comutem. Portanto a afirmação geral é falsa.
Passo 10
(i) Se
e
é invertível, multiplica-se à direita por
e obtém-se
.
Passo 11
(j) Se
e
é invertível, multiplica-se à direita por
e vem
.
Passo 12
(k) Se
e duas das matrizes são invertíveis, então a terceira também é:
- Se
e invertíveis, então é invertível. - Se
e invertíveis, então é invertível. - Se
e invertíveis, então é invertível.
Passo 13
(l) A afirmação “se duas são singulares, então a terceira também é singular” falha: por exemplo, em
tome
Aqui
e
são singulares, mas
é invertível.
Resposta
(a) Falsa.
(b) Falsa.
(c) Falsa.
(d) Verdadeira.
(e) Falsa.
(f) Falsa.
(g) Verdadeira.
(h) Falsa.
(i) Verdadeira.
(j) Verdadeira.
(k) Verdadeira.
(l) Falsa.
(b) Falsa.
(c) Falsa.
(d) Verdadeira.
(e) Falsa.
(f) Falsa.
(g) Verdadeira.
(h) Falsa.
(i) Verdadeira.
(j) Verdadeira.
(k) Verdadeira.
(l) Falsa.