Verifique se as sentenças abaixo são verdadeiras ou falsas. Justifique sua resposta.
(a) ( ) \operatorname{det}(-A)=\operatorname{det}(A).
(b) ( ) \operatorname{det}(A+B)=\operatorname{det}(A)+\operatorname{det}(B).
(c) ( ) Sejam A, B e P matrizes reais de ordem n, tais que B=P^{T} A P, sendo P inversível. Então \operatorname{det}(A)=\operatorname{det}(B).
(d) ( ) Dada a equação matricial X^{2}+2 X=0, onde X é uma matriz quadrada de ordem n, não singular. Então esta equação tem única solução.
(e) ( ) Se A, B \in M_{n}(\mathbb{R}) são tais que A B=0 (matriz nula), então B A também é a matriz nula.
(f) ( ) Se A, B \in M_{n}(\mathbb{R}) são tais que A B=0 (matriz nula), então A=0 ou B=0.
(g) ( ) A soma de duas matrizes simétricas de mesma ordem é uma matriz simétrica.
(h) ( ) O produto de duas matrizes simétricas de mesma ordem é uma matriz simétrica.
Nas afirmativas abaixo, A, B e C são matrizes de ordens apropriadas para as operações indicadas.
(i) ( ) Se A C=B C e C é inversível, então A=B.
(j) ( ) Se A B=0 e B é inversível, então A=0.
(k) ( ) Se A B=C e duas das matrizes são inversíveis, então a terceira também é.
(l) ( ) Se A B=C e duas das matrizes são singulares (não inversíveis), então a terceira também é.

Passo 1

O enunciado pede para determinar se cada uma das afirmativas (a)–(l) sobre determinantes, matrizes simétricas, produtos nulos e propriedades de inversibilidade é verdadeira ou falsa, justificando cada resposta. Vamos usar propriedades básicas de determinante, produto matricial, inversibilidade e simetria.

Passo 2

(a) A propriedade de escalar no determinante é
\det(-A)=(-1)^n\det(A),
onde n é a ordem de A. Como (-1)^n só vale 1 se n for par, em geral \det(-A)\neq\det(A).
Portanto, (a) é falsa.

Passo 3

(b) Em geral o determinante não é aditivo:
\det(A+B)\neq \det(A)+\det(B)
salvo casos muito especiais (por exemplo matrizes triangulares nulas em soma apropriada).
Logo, (b) é falsa.

Passo 4

(c) Se B=P^{T}AP com P inversível, então
\det(B)=\det(P^{T})\,\det(A)\,\det(P)=\det(P)\,\det(A)\,\det(P)=\det(P)^2\det(A).
Como \det(P)\neq0 e \det(P)^2>0, temos \det(B)=\det(A).
Logo, (c) é verdadeira.

Passo 5

(d) A equação matricial
X^2+2X=0
pode ser escrita como
X(X+2I)=0.
Se X é invertível, multiplicando à esquerda por X^{-1} obtemos X+2I=0, ou seja,
X=-2I,
que é única solução e de fato invertível.
Portanto, (d) é verdadeira.

Passo 6

(e) Se AB=0 não implica BA=0 em geral, pois matrizes não comutam. Existem exemplos de matrizes não nulas tais que o produto numa ordem é zero e noutra não.
Logo, (e) é falsa.

Passo 7

(f) Também não vale que AB=0 implica A=0 ou B=0. Há exemplos de matrizes não nulas cujo produto é a matriz nula (por exemplo matrizes de projeção).
Portanto, (f) é falsa.

Passo 8

(g) Se A e B são simétricas, A^T=A e B^T=B. Então
(A+B)^T=A^T+B^T=A+B,
isto é, A+B é simétrica.
Logo, (g) é verdadeira.

Passo 9

(h) Se A e B são simétricas,
(AB)^T=B^TA^T=BA.
Para AB ser simétrica precisa BA=AB, mas em geral não há comutação.
Portanto, (h) é falsa.

Passo 10

(i) Se AC=BC e C é inversível, multiplicamos à direita por C^{-1} e obtemos A=BC\,C^{-1}=B.
Logo, (i) é verdadeira.

Passo 11

(j) Se AB=0 e B é inversível, multiplicando à direita por B^{-1} resulta A=0.
Portanto, (j) é verdadeira.

Passo 12

(k) Em AB=C, se duas das matrizes são inversíveis então a terceira também o é, pois por exemplo:
* Se A e B invertíveis, C=AB é produto de invertíveis e invertível.
* Se A e C invertíveis, B=A^{-1}C é invertível.
* Se B e C invertíveis, A=C\,B^{-1} é invertível.
Logo, (k) é verdadeira.

Passo 13

(l) A afirmação “se duas das matrizes são singulares então a terceira também é singular” não vale em geral. Por exemplo, em AB=C, se A e C são singulares, B pode ser inversível (basta tomar B=C\,A^{-1} em caso de A singular de posto adequado).
Portanto, (l) é falsa.

Resposta

(a) Falsa
(b) Falsa
(c) Verdadeira
(d) Verdadeira
(e) Falsa
(f) Falsa
(g) Verdadeira
(h) Falsa
(i) Verdadeira
(j) Verdadeira
(k) Verdadeira
(l) Falsa

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