Verifique se as sentenças abaixo são verdadeiras ou falsas. Justifique sua resposta.
(a) ( )
.
(b) ( )
.
(c) ( ) Sejam
e
matrizes reais de ordem
, tais que
, sendo
inversível. Então
.
(d) ( ) Dada a equação matricial
, onde
é uma matriz quadrada de ordem
, não singular. Então esta equação tem única solução.
(e) ( ) Se
são tais que
(matriz nula), então
também é a matriz nula.
(f) ( ) Se
são tais que
(matriz nula), então
ou
.
(g) ( ) A soma de duas matrizes simétricas de mesma ordem é uma matriz simétrica.
(h) ( ) O produto de duas matrizes simétricas de mesma ordem é uma matriz simétrica.
Nas afirmativas abaixo,
e
são matrizes de ordens apropriadas para as operações indicadas.
(i) ( ) Se
e
é inversível, então
.
(j) ( ) Se
e
é inversível, então
.
(k) ( ) Se
e duas das matrizes são inversíveis, então a terceira também é.
(l) ( ) Se
e duas das matrizes são singulares (não inversíveis), então a terceira também é.
(a) ( )
(b) ( )
(c) ( ) Sejam
(d) ( ) Dada a equação matricial
(e) ( ) Se
(f) ( ) Se
(g) ( ) A soma de duas matrizes simétricas de mesma ordem é uma matriz simétrica.
(h) ( ) O produto de duas matrizes simétricas de mesma ordem é uma matriz simétrica.
(i) ( ) Se
(j) ( ) Se
(k) ( ) Se
(l) ( ) Se
Passo 1
O enunciado pede para determinar se cada uma das afirmativas (a)–(l) sobre determinantes, matrizes simétricas, produtos nulos e propriedades de inversibilidade é verdadeira ou falsa, justificando cada resposta. Vamos usar propriedades básicas de determinante, produto matricial, inversibilidade e simetria.
Passo 2
(a) A propriedade de escalar no determinante é
onde
é a ordem de
. Como
só vale
se
for par, em geral
.
Portanto, (a) é falsa.
Portanto, (a) é falsa.
Passo 3
(b) Em geral o determinante não é aditivo:
salvo casos muito especiais (por exemplo matrizes triangulares nulas em soma apropriada).
Logo, (b) é falsa.
Logo, (b) é falsa.
Passo 4
(c) Se
com
inversível, então
Como
e
, temos
.
Logo, (c) é verdadeira.
Logo, (c) é verdadeira.
Passo 5
(d) A equação matricial
pode ser escrita como
Se
é invertível, multiplicando à esquerda por
obtemos
, ou seja,
que é única solução e de fato invertível.
Portanto, (d) é verdadeira.
Portanto, (d) é verdadeira.
Passo 6
(e) Se
não implica
em geral, pois matrizes não comutam. Existem exemplos de matrizes não nulas tais que o produto numa ordem é zero e noutra não.
Logo, (e) é falsa.
Logo, (e) é falsa.
Passo 7
(f) Também não vale que
implica
ou
. Há exemplos de matrizes não nulas cujo produto é a matriz nula (por exemplo matrizes de projeção).
Portanto, (f) é falsa.
Portanto, (f) é falsa.
Passo 8
(g) Se
e
são simétricas,
e
. Então
isto é,
é simétrica.
Logo, (g) é verdadeira.
Logo, (g) é verdadeira.
Passo 9
(h) Se
e
são simétricas,
Para
ser simétrica precisa
, mas em geral não há comutação.
Portanto, (h) é falsa.
Portanto, (h) é falsa.
Passo 10
(i) Se
e
é inversível, multiplicamos à direita por
e obtemos
.
Logo, (i) é verdadeira.
Logo, (i) é verdadeira.
Passo 11
(j) Se
e
é inversível, multiplicando à direita por
resulta
.
Portanto, (j) é verdadeira.
Portanto, (j) é verdadeira.
Passo 12
(k) Em
, se duas das matrizes são inversíveis então a terceira também o é, pois por exemplo:
* Se e
invertíveis,
é produto de invertíveis e invertível.
* Se e
invertíveis,
é invertível.
* Se e
invertíveis,
é invertível.
Logo, (k) é verdadeira.
* Se
* Se
* Se
Logo, (k) é verdadeira.
Passo 13
(l) A afirmação “se duas das matrizes são singulares então a terceira também é singular” não vale em geral. Por exemplo, em
, se
e
são singulares,
pode ser inversível (basta tomar
em caso de
singular de posto adequado).
Portanto, (l) é falsa.
Portanto, (l) é falsa.
Resposta
(a) Falsa
(b) Falsa
(c) Verdadeira
(d) Verdadeira
(e) Falsa
(f) Falsa
(g) Verdadeira
(h) Falsa
(i) Verdadeira
(j) Verdadeira
(k) Verdadeira
(l) Falsa
(b) Falsa
(c) Verdadeira
(d) Verdadeira
(e) Falsa
(f) Falsa
(g) Verdadeira
(h) Falsa
(i) Verdadeira
(j) Verdadeira
(k) Verdadeira
(l) Falsa