Determinar uma equação geral do plano perpendicular à reta
r:\left\{\begin{array}{l}x=2+2 t \\\ y=1-3 t \\\ z=4 t\end{array} \quad\right. e que contenha o ponto A(-1,2,3) ;

Passo 1

O enunciado nos dá a reta
r:\begin{cases} x=2+2t\\\ y=1-3t\\\ z=4t \end{cases}
e pede um plano perpendicular a essa reta que passe pelo ponto A(-1,2,3).
O conteúdo necessário é a equação geral de um plano em \mathbb{R}^3 dado um vetor normal e um ponto.

Passo 2

A direção da reta r vem dos coeficientes de t. Logo, o vetor diretor é
\vec{v} = (2,\,-3,\,4).

Passo 3

Para que o plano seja perpendicular à reta, seu vetor normal \vec{n} deve ser paralelo a \vec{v}. Podemos então escolher
\vec{n} = (2,\,-3,\,4).

Passo 4

A equação geral de um plano com normal \vec{n}=(a,b,c) que passa por A(x_0,y_0,z_0) é
a(x-x_0)+b(y-y_0)+c(z-z_0)=0.
Substituindo a=2, b=-3, c=4 e A(-1,2,3) obtemos
2\bigl(x-(-1)\bigr)-3\bigl(y-2\bigr)+4\bigl(z-3\bigr)=0,
ou seja,
2(x+1)-3(y-2)+4(z-3)=0.

Passo 5

Agora expandimos e simplificamos:
2x+2 -3y+6 +4z-12 = 0
2x -3y +4z -4 = 0.

Resposta

2x - 3y + 4z - 4 = 0

Exercícios relacionados