Determinar o ângulo entre os seguintes planos
\pi_{1}: x-2 y+z-6=0 \quad e \quad \pi_{2}: 2 x-y-z+3=0

Passo 1

O enunciado pede o ângulo entre dois planos em \mathbb{R}^3. A ideia é notar que esse ângulo coincide com o ângulo entre os vetores normais a esses planos, usando produto escalar e normas.

Passo 2

Extraímos das equações dos planos os vetores normais: \pi_{1}: x - 2y + z - 6 = 0 tem normal \mathbf{n}_1 = (1,\,-2,\,1). \pi_{2}: 2x - y - z + 3 = 0 tem normal \mathbf{n}_2 = (2,\,-1,\,-1).

Passo 3

Calculamos o produto escalar e as normas:
\mathbf{n}_1 \cdot \mathbf{n}_2 = 1\cdot 2 + (-2)\cdot(-1) + 1\cdot(-1) = 2 + 2 - 1 = 3.
\|\mathbf{n}_1\| = \sqrt{1^2 + (-2)^2 + 1^2} = \sqrt{6}, \quad \|\mathbf{n}_2\| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + (-1)^2} = \sqrt{6}.

Passo 4

Usamos a fórmula do ângulo \theta entre vetores:
\cos\theta = \frac{\bigl|\mathbf{n}_1 \cdot \mathbf{n}_2\bigr|}{\|\mathbf{n}_1\|\;\|\mathbf{n}_2\|} = \frac{|3|}{\sqrt{6}\,\sqrt{6}} = \frac{3}{6} = \tfrac12.

Passo 5

Portanto
\theta = \operatorname{arccos}\bigl(\tfrac12\bigr) = 60^\circ.

Resposta

60^\circ

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