Verifique se as sentenças abaixo são verdadeiras (V) ou falsas (F). Justifique com propriedades ou contraexemplos.
Se
e
, então
.
Se
Passo 1
O enunciado nos pede para verificar se, dadas as hipóteses
,
e
, sempre vale
. O conteúdo da matéria envolve a função recíproca e sua monotonicidade.
Passo 2
A função
tem derivada
para todo
. Isso mostra que
é estritamente decrescente em cada um dos intervalos
e .
Passo 3
Como
é decrescente em
e em , se tivermos
ou
, então de fato
Porém, o enunciado não garante que
e
estejam no mesmo intervalo de sinais.
Passo 4
Para ver que a afirmação falha em geral, basta um contraexemplo com
. Por exemplo, tome
e
. Então
e a desigualdade
é falsa.
Passo 5
Logo, existe pelo menos um par
que satisfaz
,
,
e não satisfaz
. Assim, a sentença é falsa.
Resposta
Falsa