Verifique se as sentenças abaixo são verdadeiras (V) ou falsas (F). Justifique com propriedades ou contraexemplos.
Se x neq 0, y neq 0 e x, então 1x>1y.

Passo 1

O enunciado nos pede para verificar se, dadas as hipóteses xneq0, yneq0 e x, sempre vale 1/x>1/y. O conteúdo da matéria envolve a função recíproca e sua monotonicidade.

Passo 2

A função f(t)=1/t tem derivada
f'(t)=-1/t^2<0
para todo tneq0. Isso mostra que f é estritamente decrescente em cada um dos intervalos (0,nablafty) e .

Passo 3

Como f é decrescente em (0,nablafty) e em , se tivermos x ou 0, então de fato
1x>1y
Porém, o enunciado não garante que x e y estejam no mesmo intervalo de sinais.

Passo 4

Para ver que a afirmação falha em geral, basta um contraexemplo com x<0. Por exemplo, tome x=-2 e y=1. Então
1x=-tfrac12,
1y=1,
e a desigualdade
-tfrac12>1
é falsa.

Passo 5

Logo, existe pelo menos um par (x,y) que satisfaz xneq0, yneq0, x e não satisfaz 1/x>1/y. Assim, a sentença é falsa.

Resposta

Falsa

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