1. Verifique se a sequência (an)n in N=(pi^cos nn)n in N é convergente.

Passo 1

O enunciado dá a sequência
an = pi^cos nn,
para ninN, e pede para verificar se ela é convergente.
O conteúdo aplicado aqui é análise de limite de sequência usando o fato de que cos n é limitada e o Teorema do Confronto (ou Teorema do Aperto).

Passo 2

Sabemos que para todo n vale
-1 <= cos n <= 1
Elevando pi>0 a esses extremos, obtemos
pi^-1 <= pi^cos n <= pi^1 = pi
Logo, para todo n temos
0 ;<=; an = pi^cos nn ;<=; pin

Passo 3

Como limntoinftypin=0 e an>=0, pelo Teorema do Confronto segue que
limntoinftyan = 0

Resposta

A sequência an=pi^cos nn é convergente, e
limntoinftyan = 0

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