1. Verifique se a sequência (an)n in N=(n(-1)^n cos (n)n^2+1)n in N é convergente.

Passo 1

O enunciado nos dá a sequência
an = n(-1)^ncos(n)n^2+1
e pede se ela converge. Vamos usar o fato de que cos(n) é limitado entre -1 e 1 e aplicar o Teorema do Confronto (ou Squeeze Theorem) para mostrar que anto0.

Passo 2

Como cos(n) satisfaz -1<=cos(n)<=1, temos
l|(-1)^ncos(n)r|<=1
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|an| = |n(-1)^ncos(n)n^2+1| <= ncdot1n^2+1 = nn^2+1

Passo 3

Para a sequência auxiliar
bn = nn^2+1
podemos dividir numerador e denominador por n e obter
bn = 1n + 1n,longrightarrow,0 quando ntoinfty
Como |an|<= bn e bnto0, pelo Teorema do Confronto concluímos que
anlongrightarrow0

Resposta

A sequência l(anr) é convergente e seu limite é 0.

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