Verifique se a sequência converge ou diverge
(3.1, 1.a, p. 42)
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício. A gente precisa verificar se a sequência $ S_n = \sum_{k=0}^{+\infty} \frac{1}{k^{2}+1} $ converge ou diverge. Isso está relacionado ao estudo de séries infinitas, que faz parte do cálculo, especificamente das séries numéricas. Para resolver isso, vamos precisar entender os critérios de convergência de séries e aplicar um que funcione bem para essa expressão.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma série convergir ou divergir. Uma série infinita como $ \sum_{k=0}^{+\infty} a_k $ converge se a soma dos seus termos se aproxima de um número finito à medida que adicionamos mais e mais termos. Se essa soma não se estabiliza e continua crescendo sem limite, dizemos que a série diverge.
Passo 3
Agora, vamos analisar a nossa série: $ \sum_{k=0}^{+\infty} \frac{1}{k^{2}+1} $. Os termos dessa série são da forma $ a_k = \frac{1}{k^{2}+1} $. Para saber se essa série converge, podemos usar o Teste da Comparação, que é uma ferramenta útil para comparar nossa série com outra que sabemos se converge ou diverge.
Passo 4
O Teste da Comparação funciona assim: a gente compara os termos da nossa série com os termos de uma outra série conhecida. Se a nossa série tem termos menores ou iguais aos da série comparada, e essa última converge, então a nossa também converge. Se os termos da nossa série são maiores e a série comparada converge, a conclusão não é tão direta, mas se a série comparada diverge, então a nossa também diverge.
Passo 5
Vamos comparar nossa série com a série $ \sum_{k=1}^{+\infty} \frac{1}{k^{2}} $. Sabemos que essa série é conhecida como a série $ p $ com $ p = 2 $, e ela converge porque $ p > 1 $. Agora, observamos que:
Isso porque $ k^{2}+1 > k^{2} $, então o inverso é menor.
Passo 6
Como cada termo da nossa série $ \frac{1}{k^{2}+1} $ é menor que o correspondente termo da série convergente $ \frac{1}{k^{2}} $, pelo Teste da Comparação, podemos concluir que a nossa série também converge.
Resposta
A série $ S_n = \sum_{k=0}^{+\infty} \frac{1}{k^{2}+1} $ converge.