Verifique se a sequência dada é convergente ou divergente:
Passo 1
Beleza, vamos analisar a sequência
. Esse exercício está relacionado ao estudo de sequências e suas propriedades de convergência ou divergência. Para resolver, vamos precisar entender o que significa uma sequência convergir e como verificar isso usando os termos da sequência.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é convergência. Dizemos que uma sequência converge para um número
se, conforme os termos da sequência ficam cada vez maiores (ou os índices
aumentam), eles se aproximam cada vez mais de
. Ou seja, para todo
, existe um
tal que para todo
, a diferença entre
e
é menor que
.
Passo 3
Agora, vamos olhar para a nossa sequência
. Vamos calcular alguns termos para entender o comportamento:
- Para
: - Para
: - Para
: - Para
: - E assim por diante…
Passo 4
Observamos que a sequência alterna entre
e
indefinidamente. Ou seja, não há um único valor para o qual os termos estão se aproximando. Eles continuam pulando entre esses dois valores sem se estabilizar.
Passo 5
Como a sequência não se aproxima de nenhum número específico e continua alternando, podemos concluir que ela não satisfaz a condição de convergência. Portanto, a sequência não converge para nenhum limite finito.
Passo 6
Além disso, já que a sequência não converge, dizemos que ela diverge.
Resposta
A sequência
é divergente.