Verifique se a sequência dada é convergente ou divergente:
(-1)^n

Passo 1

Beleza, vamos analisar a sequência (-1)^n. Esse exercício está relacionado ao estudo de sequências e suas propriedades de convergência ou divergência. Para resolver, vamos precisar entender o que significa uma sequência convergir e como verificar isso usando os termos da sequência.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é convergência. Dizemos que uma sequência converge para um número L se, conforme os termos da sequência ficam cada vez maiores (ou os índices n aumentam), eles se aproximam cada vez mais de L. Ou seja, para todo epsilon > 0, existe um N tal que para todo n > N, a diferença entre an e L é menor que epsilon.

Passo 3

Agora, vamos olhar para a nossa sequência (-1)^n. Vamos calcular alguns termos para entender o comportamento:
  • Para n=1: (-1)^1 = -1
  • Para n=2: (-1)^2 = 1
  • Para n=3: (-1)^3 = -1
  • Para n=4: (-1)^4 = 1
  • E assim por diante…

Passo 4

Observamos que a sequência alterna entre -1 e 1 indefinidamente. Ou seja, não há um único valor para o qual os termos estão se aproximando. Eles continuam pulando entre esses dois valores sem se estabilizar.

Passo 5

Como a sequência não se aproxima de nenhum número específico e continua alternando, podemos concluir que ela não satisfaz a condição de convergência. Portanto, a sequência não converge para nenhum limite finito.

Passo 6

Além disso, já que a sequência não converge, dizemos que ela diverge.

Resposta

A sequência (-1)^n é divergente.

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