Verifique se a sequência dada é convergente ou divergente:
n3^n+1

Passo 1

Ok, vamos lá! A gente tem uma sequência que é n3^n+1. Nosso objetivo aqui é descobrir se essa sequência converge para algum número ou se ela diverge, ou seja, não se aproxima de nenhum valor específico. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre limites e como comparar o crescimento de funções exponenciais com funções polinomiais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma sequência ser convergente. Uma sequência converge se, à medida que os termos vão aumentando (quando n cresce), eles se aproximam cada vez mais de um número específico. Se isso acontece, dizemos que a sequência converge para esse número. Se os termos não se aproximam de nenhum número específico, a sequência diverge.

Passo 3

Agora, vamos analisar a expressão n3^n+1. Aqui, temos o numerador n, que cresce de forma linear à medida que n aumenta. No denominador, temos 3^n+1, que é uma função exponencial e cresce muito mais rápido que qualquer função polinomial, inclusive o próprio n.

Passo 4

Para encontrar o limite dessa sequência, vamos calcular:
limn to infty n3^n+1
Sabemos que, conforme n tende ao infinito, 3^n+1 cresce extremamente rápido, muito mais rápido que o crescimento de n. Isso faz com que o valor da fração n3^n+1 fique cada vez menor, se aproximando de zero.

Passo 5

Portanto, o limite da sequência é:
limn to infty n3^n+1 = 0
Como o limite existe e é igual a zero, isso significa que a sequência é convergente.

Resposta

A sequência n3^n+1 é convergente e converge para 0.

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