Determine, se existir, um limitante inferior e um limitante superior para as seguintes sequências:
Passo 1
Beleza, vamos entender qual é o problema aqui. A gente precisa descobrir se existem limitantes inferior e superior para a sequência dada por:
Isso significa que queremos saber se existe um número que sempre está abaixo dos termos da sequência (limitante inferior) e outro que está sempre acima (limitante superior). Para resolver isso, vamos analisar os termos da sequência e ver como eles se comportam à medida que $ n $ cresce.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão $ \operatorname{sen}^{2}\left(\frac{n \pi}{2}\right) $. Sabemos que o seno de múltiplos de $ \frac{\pi}{2} $ tem valores específicos. Vamos ver:
- Quando $ n = 1 $: $ \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1 $
- Quando $ n = 2 $: $ \sin(\pi) = 0 $
- Quando $ n = 3 $: $ \sin\left(\frac{3\pi}{2}\right) = -1 $
- Quando $ n = 4 $: $ \sin(2\pi) = 0 $
- E assim por diante…
Perceba que para valores ímpares de $ n $, o seno é $ \pm 1 $, e para valores pares, é $ 0 $.
Passo 3
Agora, elevando ao quadrado:
Então, nossa sequência fica:
Passo 4
Vamos analisar agora cada caso:
-
Para $ n $ ímpar: O termo da sequência é $ n^{2} $. À medida que $ n $ cresce, $ n^{2} $ também cresce sem limites. Isso significa que, para $ n $ ímpar, os termos da sequência ficam cada vez maiores.
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Para $ n $ par: O termo da sequência é $ 0 $. Isso significa que, para todo $ n $ par, temos um termo da sequência igual a zero.
Passo 5
Agora, pensando nos limitantes:
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Limitante inferior: É o menor valor que a sequência pode assumir. Observando os termos, vemos que para $ n $ par, temos $ 0 $. Além disso, $ n^{2} $ é sempre positivo ou zero. Portanto, o menor valor que a sequência atinge é $ 0 $. Logo, existe um limitante inferior, que é $ 0 $.
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Limitante superior: É o maior valor que a sequência pode assumir. Porém, para $ n $ ímpar, $ n^{2} $ cresce sem limites à medida que $ n $ aumenta. Isso significa que não há um número que sirva como um teto para todos os termos da sequência. Logo, não existe um limitante superior para essa sequência.
Resposta
A sequência $ \left{n^{2} \operatorname{sen}^{2}\left(\frac{n \pi}{2}\right)\right} $ possui um limitante inferior igual a $ 0 $, mas não possui um limitante superior.