Verifique se a sequência dada é monótona ou não monótona.
1 cdot 3 cdot 5 ldots(2 n-1)2^n n!n >= 1

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a sequência
an = 1cdot3cdot5cdots(2n-1)2^n,n!
é monótona. O conteúdo aqui é teste de monotonicidade de sequência, e vamos usar o quociente dos termos consecutivos an+1/an.

Passo 2

Primeiro, convém reescrever an de forma mais manejável. Note que
1cdot3cdot5cdots(2n-1) =prodk=1^n(2k-1) =(2n)!2^n,n!,
pois (2n)!=2^n,n!timesprodk=1^n(2k-1). Portanto
an =(2n)!2^n,n!2^n,n! =(2n)!4^n,(n!)^2 =binom2nn4^n

Passo 3

Agora calculamos o quociente
an+1an =binom2n+2,n+1,4^,n+1 binom2nn4^n =binom2n+2,n+1,binom2nn;14
Usando
binom2n+2,n+1,binom2nn =(2n+2)!(n+1)!(n+1)!cdotn!,n!(2n)! =(2n+1)(2n+2)(n+1)^2,
vemos que
an+1an =(2n+1)(2n+2)4,(n+1)^2 =4n^2+6n+24n^2+8n+4

Passo 4

Para testar se a sequência é decrescente, verificamos se tfracan+1an<1. Note que
4n^2+8n+4 - (4n^2+6n+2) =2n+2>0para todo n>=1
Logo tfracan+1an<1, o que significa que an+1<an para todo n>=1.

Resposta

A sequência é monótona decrescente.

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