Encontre a solução dos PVI abaixo.
y^prime prime+8 y^prime-9 y=0, y(1)=1, y^prime(1)=0;

Passo 1

O enunciado nos dá o problema de valor inicial
y'' + 8y' - 9y = 0 com
y(1)=1 e y'(1)=0.
O conteúdo aqui é uma EDO linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos:
1. formar a equação característica,
2. encontrar suas raízes,
3. escrever a solução geral e sua derivada,
4. aplicar as condições iniciais para determinar as constantes.

Passo 2

Formamos a equação característica associada a
r^2 + 8r - 9 = 0
Calculando o discriminante,
De<a = 8^2 - 4cdot1cdot(-9) = 64 + 36 = 100,
logo as raízes são
r = -8 pm raiz1002 = -8 pm 102 Longrightarrow r1 = 1,; r2 = -9

Passo 3

Como as raízes são distintas ( r1neq r2), a solução geral da EDO é
y(x) = C1 e^r1 x + C2 e^r2 x = C1 e^x + C2 e^-9x

Passo 4

Calculamos a derivada e aplicamos as condições iniciais em x=1:
y'(x) = C1 e^x - 9,C2 e^-9x
Em x=1 obtemos o sistema
C1 e^1 + C2 e^-9 = 1,[6pt] C1 e^1 - 9,C2 e^-9 = 0
Da segunda equação segue
C1 e = 9,C2 e^-9 Longrightarrow C1 = 9,C2 e^-10
Substituindo na primeira:
9,C2 e^-9 + C2 e^-9 = 1 Longrightarrow 10,C2 e^-9 = 1 Longrightarrow C2 = e^910,
e então
C1 = 9,e^910,e^-10 = 910e
]

Passo 5

Substituindo C1 e C2 na solução geral, obtemos
y(x) = 910e,e^x + e^910,e^-9x = 910e^x-1 + 110e^9-9x

Resposta

y(x) = 910e^x-1 ;+;110e^9(1-x)

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