Verifique se a sequência dada é monótona ou não monótona:
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo! A gente tem uma sequência formada por termos que são frações onde o numerador é o fatorial de
(
) e o denominador é o produto de números ímpares até
. A tarefa é verificar se essa sequência é monótona, ou seja, se está sempre aumentando ou sempre diminuindo, ou se não segue essa regra.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a sequência de forma mais clara. O termo geral da sequência é:
Aqui,
significa
fatorial, que é o produto de todos os números inteiros de 1 até
. O denominador é o produto dos primeiros
números ímpares.
Passo 3
Para verificar se a sequência é monótona, vamos analisar como os termos se comportam conforme
cresce. Uma maneira de fazer isso é comparar o termo
com
.
Vamos calcular a razão entre
e
:
Simplificando essa expressão:
Passo 4
Agora, vamos analisar o valor dessa razão
.
- Se
, então , indicando que a sequência está aumentando. - Se
, então , indicando que a sequência está diminuindo. - Se
, então a sequência é constante.
Simplificando
:
Para
, vamos ver se essa fração é maior ou menor que 1.
Multiplicando ambos os lados por
(que é positivo):
Subtraindo
de ambos os lados:
Isso não é verdade para
, então:
Passo 5
Como a razão
para todo
, isso significa que cada termo da sequência é menor que o anterior. Portanto, a sequência está sempre diminuindo.
Resposta
A sequência
é monótona decrescente.