Verifique se a sequência dada é monótona ou não monótona: n!1.3 5 ldots(2 n-1)n >= 1

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo! A gente tem uma sequência formada por termos que são frações onde o numerador é o fatorial de ( ) e o denominador é o produto de números ímpares até . A tarefa é verificar se essa sequência é monótona, ou seja, se está sempre aumentando ou sempre diminuindo, ou se não segue essa regra.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a sequência de forma mais clara. O termo geral da sequência é:
an = n!1 cdot 3 cdot 5 cdot ldots cdot (2n-1)
Aqui, significa fatorial, que é o produto de todos os números inteiros de 1 até . O denominador é o produto dos primeiros números ímpares.

Passo 3

Para verificar se a sequência é monótona, vamos analisar como os termos se comportam conforme an+1an = (n+1)!1 cdot 3 cdot 5 cdot ldots cdot (2n+1) times 1 cdot 3 cdot 5 cdot ldots cdot (2n-1)n! cresce. Uma maneira de fazer isso é comparar o termo an+1an = n+12n+1 com .
Vamos calcular a razão entre e :
Simplificando essa expressão:

Passo 4

Agora, vamos analisar o valor dessa razão n+12n+1 = n + 12n + 1 .
  • Se n + 1 stackrel?> 2n + 1 , então 0 stackrel?> n , indicando que a sequência está aumentando.
  • Se n+12n+1 < 1 , então , indicando que a sequência está diminuindo.
  • Se , então a sequência é constante.
Simplificando :
Para , vamos ver se essa fração é maior ou menor que 1.
Multiplicando ambos os lados por (que é positivo):
Subtraindo de ambos os lados:
Isso não é verdade para , então:

Passo 5

Como a razão para todo , isso significa que cada termo da sequência é menor que o anterior. Portanto, a sequência está sempre diminuindo.

Resposta

A sequência é monótona decrescente.

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