Classifique as afirmações em verdadeiras ou falsas, no caso em que seja falsa apresente um contra-exemplo
© A soma de duas sequências divergentes é divergente;

Passo 1

Neste exercício, vamos analisar a afirmação “A soma de duas sequências divergentes é divergente” para determinar se ela é verdadeira ou falsa. Para isso, vamos utilizar conceitos de sequências e suas propriedades de convergência e divergência.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que significa uma sequência ser divergente. Uma sequência é dita divergente se não converge para nenhum número real específico, ou seja, não se aproxima de um valor fixo conforme avançamos nos termos da sequência.

Passo 3

A afirmação em questão sugere que, se temos duas sequências que não convergem (são divergentes), então a soma dessas duas sequências também não converge. Para verificar se isso é sempre verdade, podemos tentar encontrar um contra-exemplo onde a soma de duas sequências divergentes resulte em uma sequência convergente.

Passo 4

Vamos considerar as seguintes sequências:
an = n e bn = -n
Cada uma dessas sequências é divergente:
  • tende para conforme aumenta.
  • tende para conforme aumenta.

Passo 5

Agora, vamos somar essas duas sequências:
an + bn = n + (-n) = 0
A soma resulta em para todo valor de , ou seja, temos uma sequência constante que converge para .

Resposta

A afirmação é falsa. Um contra-exemplo é a soma das sequências e , que resulta em uma sequência constante convergente a .

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