Classifique as afirmações em verdadeiras ou falsas, no caso em que seja falsa apresente um contra-exemplo
© A soma de duas sequências divergentes é divergente;
© A soma de duas sequências divergentes é divergente;
Passo 1
Neste exercício, vamos analisar a afirmação “A soma de duas sequências divergentes é divergente” para determinar se ela é verdadeira ou falsa. Para isso, vamos utilizar conceitos de sequências e suas propriedades de convergência e divergência.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o que significa uma sequência ser divergente. Uma sequência é dita divergente se não converge para nenhum número real específico, ou seja, não se aproxima de um valor fixo conforme avançamos nos termos da sequência.
Passo 3
A afirmação em questão sugere que, se temos duas sequências que não convergem (são divergentes), então a soma dessas duas sequências também não converge. Para verificar se isso é sempre verdade, podemos tentar encontrar um contra-exemplo onde a soma de duas sequências divergentes resulte em uma sequência convergente.
Passo 4
Vamos considerar as seguintes sequências:
Cada uma dessas sequências é divergente:
-
tende para conforme aumenta. -
tende para conforme aumenta.
Passo 5
Agora, vamos somar essas duas sequências:
A soma resulta em
para todo valor de
, ou seja, temos uma sequência constante que converge para
.
Resposta
A afirmação é falsa. Um contra-exemplo é a soma das sequências
e
, que resulta em uma sequência constante convergente a
.