^a Questão. Um fluido tem vetor fluxo de densidade dado por F=x i-(2 x+y) j+z k. Seja S o hemisfério x^2+y^2+z^2=1, z >= 0 e n o vetor normal apontando para fora da esfera. Calcule o fluxo de massa por unidade de tempo atravessando a superfície S na direção de n.

Passo 1

O enunciado pede o fluxo de massa por tempo do campo de densidade vec F = xhat i - (2x+y)hat j + zhat k através do hemisfério S definido por x^2+y^2+z^2=1, z>=0, com normal apontando para fora da esfera. Vamos usar o Teorema da Divergência, que relaciona o fluxo pela superfície fechada com a integral da divergência no volume interno.

Passo 2

O Teorema da Divergência diz que para um campo vec F e um volume V com superfície fechada partial V:
integral duplapartial V vec Fcdothat n,dS = integral triplaV (nablacdotvec F),dV
Aqui o nosso volume fechado é o meio-bola de raio 1 (o hemisfério mais a base plana).

Passo 3

Calculemos primeiro a divergência de vec F:
nablacdotvec F = partialpartial x(x) + partialpartial y(-2x - y) + partialpartial z(z) = 1 + (-1) + 1 = 1

Passo 4

Aplicando o Teorema da Divergência ao meio-bola, temos:
integral duplaS vec Fcdothat n,dS + integral duplaD vec Fcdothat n,dS = integral triplaV 1,dV
O volume de metade de uma esfera de raio 1 é
integral triplaV 1,dV = 12 cdot 4pi3 = 2pi3

Passo 5

Falta o fluxo pela base plana D (o disco em z=0). Nessa base, o normal exterior ao volume é -hat k, e em z=0 temos Fz=0, logo
vec Fcdot(-hat k) = -Fz = 0
Portanto o fluxo por D é zero, e o fluxo pelo hemisfério é todo o valor do volume.

Resposta

2pi3

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