Questão. Um fluido tem vetor fluxo de densidade dado por
. Seja
o hemisfério
e
o vetor normal apontando para fora da esfera. Calcule o fluxo de massa por unidade de tempo atravessando a superfície
na direção de
.
Passo 1
O enunciado pede o fluxo de massa por tempo do campo de densidade
através do hemisfério
definido por
, com normal apontando para fora da esfera. Vamos usar o Teorema da Divergência, que relaciona o fluxo pela superfície fechada com a integral da divergência no volume interno.
Passo 2
O Teorema da Divergência diz que para um campo
e um volume
com superfície fechada
:
Aqui o nosso volume fechado é o meio-bola de raio 1 (o hemisfério mais a base plana).
Passo 3
Calculemos primeiro a divergência de
:
Passo 4
Aplicando o Teorema da Divergência ao meio-bola, temos:
O volume de metade de uma esfera de raio 1 é
Passo 5
Falta o fluxo pela base plana
(o disco em
). Nessa base, o normal exterior ao volume é
, e em
temos
, logo
Portanto o fluxo por
é zero, e o fluxo pelo hemisfério é todo o valor do volume.