Verifique se as sequências abaixo convergem ou divergem. Se convergir, encontre seu limite:
;
Passo 1
Enunciado e o que se pede. A sequência é
. O pedido é: verificar se a sequência converge ou diverge quando
; se convergir, encontrar o limite.
Informações relevantes dadas:
- A sequência está definida para
inteiros positivos suficientemente grandes (a expressão dentro do log é positiva para ). - O parâmetro que tende a infinito é
.
Passo 2
Relembrando propriedades do logaritmo que vamos usar (breve aula):
- Para
e vale . - Para
vale . - A função
é contínua em : se com , então .
Essas propriedades permitem transformar e analisar limites de expressões com
de modo mais simples.
Passo 3
Aplicar a propriedade de potência do logaritmo para simplificar
. Como
, temos
Passo 4
Fatorar
de forma conveniente e usar a propriedade do logaritmo de produto:
logo, usando
,
Aplicando
obtemos a forma separada
Passo 5
Analisar cada termo separadamente (aqui aprenda a pensar em limites termo a termo):
- Para o termo
: como quando , temos . Pela continuidade do , segue que
Além disso, para
tem-se
, então
é limitado abaixo (por
); portanto esse termo é limitado e tende a
.
- Para o termo
: sabe-se que quando (pois a função exponencial é a inversa do logaritmo: dado qualquer , basta escolher para que ). Assim
Passo 6
Combinar os limites dos termos. Uma soma de um termo que tende a
com um termo que tende a
tende a
. Portanto
Isto é, a sequência diverge, e diverge para
.
Passo 7
Comentário didático rápido e exemplo: intuitivamente, a raiz quadrada não muda a ordem de grandeza muito:
cresce como
, e
cresce sem limite. Um exemplo similar:
também diverge para
para qualquer
.
Resposta
A sequência diverge para
:
.