Verifique se as sequências abaixo convergem ou divergem. Se convergir, encontre seu limite:
a_{n}=\ln \sqrt{n^{3}-n^{2}};

Passo 1

Enunciado e o que se pede. A sequência é \displaystyle a_{n}=\ln \sqrt{n^{3}-n^{2}}. O pedido é: verificar se a sequência converge ou diverge quando n\to\infty; se convergir, encontrar o limite.
Informações relevantes dadas:
  • A sequência está definida para n inteiros positivos suficientemente grandes (a expressão dentro do log é positiva para n\ge1).
  • O parâmetro que tende a infinito é n\to\infty.

Passo 2

Relembrando propriedades do logaritmo que vamos usar (breve aula):
  • Para x>0 e r\in\mathbb{R} vale \displaystyle \ln(x^{r})=r\ln x.
  • Para x,y>0 vale \displaystyle \ln(xy)=\ln x+\ln y.
  • A função \ln x é contínua em x>0: se x_n\to x com x>0, então \ln(x_n)\to\ln x.
Essas propriedades permitem transformar e analisar limites de expressões com \ln de modo mais simples.

Passo 3

Aplicar a propriedade de potência do logaritmo para simplificar \ln\sqrt{\cdot}. Como \sqrt{\,\cdot\,}=(\cdot)^{1/2}, temos
a_{n}=\ln\bigl((n^{3}-n^{2})^{1/2}\bigr)=\tfrac{1}{2}\ln\bigl(n^{3}-n^{2}\bigr).

Passo 4

Fatorar n^{3}-n^{2} de forma conveniente e usar a propriedade do logaritmo de produto:
n^{3}-n^{2}=n^{3}\!\left(1-\frac{1}{n}\right),
logo, usando \ln(xy)=\ln x+\ln y,
a_{n}=\tfrac{1}{2}\ln\!\bigl(n^{3}\bigr)+\tfrac{1}{2}\ln\!\left(1-\frac{1}{n}\right).
Aplicando \ln(n^{3})=3\ln n obtemos a forma separada
a_{n}=\frac{3}{2}\ln n+\frac{1}{2}\ln\!\left(1-\frac{1}{n}\right).

Passo 5

Analisar cada termo separadamente (aqui aprenda a pensar em limites termo a termo):
  • Para o termo \displaystyle \frac{1}{2}\ln\!\left(1-\frac{1}{n}\right): como \displaystyle \frac{1}{n}\to 0 quando n\to\infty, temos 1-\frac{1}{n}\to 1. Pela continuidade do \ln, segue que
\frac{1}{2}\ln\!\left(1-\frac{1}{n}\right)\longrightarrow \frac{1}{2}\ln 1 = 0.
Além disso, para n\ge 2 tem-se 1-\frac{1}{n}\ge\frac{1}{2}, então \ln\!\left(1-\frac{1}{n}\right) é limitado abaixo (por \ln\frac12); portanto esse termo é limitado e tende a 0.
  • Para o termo \displaystyle \frac{3}{2}\ln n: sabe-se que \ln n\to+\infty quando n\to\infty (pois a função exponencial é a inversa do logaritmo: dado qualquer M>0, basta escolher n>e^{2M/3} para que \frac{3}{2}\ln n>M). Assim
\frac{3}{2}\ln n \longrightarrow +\infty.

Passo 6

Combinar os limites dos termos. Uma soma de um termo que tende a +\infty com um termo que tende a 0 tende a +\infty. Portanto
a_{n}=\frac{3}{2}\ln n+\frac{1}{2}\ln\!\left(1-\frac{1}{n}\right)\longrightarrow +\infty\quad\text{quando }n\to\infty.
Isto é, a sequência diverge, e diverge para +\infty.

Passo 7

Comentário didático rápido e exemplo: intuitivamente, a raiz quadrada não muda a ordem de grandeza muito: \sqrt{n^{3}-n^{2}} cresce como n^{3/2}, e \ln(n^{3/2})=\tfrac{3}{2}\ln n cresce sem limite. Um exemplo similar: \ln\sqrt{n^{k}}=\tfrac{k}{2}\ln n também diverge para +\infty para qualquer k>0.

Resposta

A sequência diverge para +\infty: \displaystyle a_{n}\to +\infty.

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