Considere a série \sum_{n=1}^{+\infty} a_{n}, sendo que:
a_{1}=1 \quad \text { e } \quad a_{n+1}=\left(\frac{1+\arctan n}{n}\right) \cdot a_{n} .
Determine se a série \sum_{n=1}^{+\infty} a_{n} converge ou diverge.

Passo 1

O enunciado nos dá uma série e uma recorrência. Vou listar claramente o que está dado e o que se pede:
  • Dado: a sequência (a_n) definida por
a_{1}=1 \quad\text{e}\quad a_{n+1}=\left(\frac{1+\arctan n}{n}\right)\cdot a_{n}\quad\text{para }n\ge1.
  • Pedido: determinar se a série
\sum_{n=1}^{+\infty} a_{n}
converge ou diverge.

Passo 2

Primeira observação sobre os sinais e uma forma útil para a_n.
Pelo enunciado, para todo n\ge1 tem-se 1+\arctan n>0 (pois \arctan n>0), e n>0. Logo o fator \dfrac{1+\arctan n}{n} é positivo, e como a_{1}=1>0 segue por indução que
a_{n}>0\quad\text{para todo }n.
Agora escrevo a_n como um produto telescópico dos fatores: para n\ge2,
a_{n}=a_{1}\cdot\prod_{k=1}^{n-1}\frac{1+\arctan k}{k} =\prod_{k=1}^{n-1}\frac{1+\arctan k}{k},
pois a_1=1. Esta forma de produto será útil para analisar o comportamento assintótico de a_n.

Passo 3

Calculo direto da razão entre termos consecutivos (fator de recorrência) e seu limite.
Da definição já temos
\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{1+\arctan n}{n}.
Para decidir convergência da série é natural estudar
L:=\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}.
Sabendo que
\lim_{n\to\infty}\arctan n=\frac{\pi}{2},
segue que o numerador converge para a constante 1+\dfrac{\pi}{2}. Logo
L=\lim_{n\to\infty}\frac{1+\arctan n}{n}=0,
porque o numerador tende a uma constante finita e o denominador n tende a +\infty.

Passo 4

Explicação do Teste da Razão (didática e intuitiva).
O Teste da Razão (d’Alembert) diz: para uma série com termos não negativos (a_n), se existir
L=\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n},
então
  • se L<1 a série \sum a_n converge;
  • se L>1 a série diverge;
  • se L=1 o teste é inconclusivo.
Intuição rápida: se para n grande \dfrac{a_{n+1}}{a_n}\approx r<1, então a sequência de termos se comporta como uma progressão geométrica decrescente (cada termo é aproximadamente r vezes o anterior), e a soma é finita. No nosso caso encontramos L=0, que é ainda mais favorável (muito menor que 1).

Passo 5

Aplicação do Teste da Razão ao nosso caso.
Como calculado no Passo 3,
L=\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=0<1.
Pelo Teste da Razão, a série \sum_{n=1}^{\infty}a_n converge. Como todos os a_n são positivos, isso significa também que a convergência é absoluta (para termos positivos, convergência e convergência absoluta coincidem).

Passo 6

Comentário adicional (reforço): comportamento assintótico que explica rapididade da queda.
Para reforçar o entendimento, note que para todo n\ge1 vale 1+\arctan n\le 1+\dfrac{\pi}{2}=C. Assim, para n\ge1,
\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{1+\arctan n}{n}\le\frac{C}{n}.
Da forma em produto do Passo 2 vem, para n\ge1,
a_n=\prod_{k=1}^{n-1}\frac{1+\arctan k}{k}\le\prod_{k=1}^{n-1}\frac{C}{k}=\frac{C^{\,n-1}}{(n-1)!}.
Como a sequência \dfrac{C^{\,n-1}}{(n-1)!} é a sequência de termos da série de Taylor da exponencial (que produz uma série convergente) isto dá outra forma de ver que a_n decai muito rápido e a soma \sum a_n converge.

Resposta

A série converge (convergência absoluta).

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