Considere a série
, sendo que:
Determine se a série
converge ou diverge.
Passo 1
O enunciado nos dá uma série e uma recorrência. Vou listar claramente o que está dado e o que se pede:
- Dado: a sequência
definida por
- Pedido: determinar se a série
converge ou diverge.
Passo 2
Primeira observação sobre os sinais e uma forma útil para
.
Pelo enunciado, para todo
tem-se
(pois
), e
. Logo o fator
é positivo, e como
segue por indução que
Agora escrevo
como um produto telescópico dos fatores: para
,
pois
. Esta forma de produto será útil para analisar o comportamento assintótico de
.
Passo 3
Calculo direto da razão entre termos consecutivos (fator de recorrência) e seu limite.
Da definição já temos
Para decidir convergência da série é natural estudar
Sabendo que
segue que o numerador converge para a constante
. Logo
porque o numerador tende a uma constante finita e o denominador
tende a
.
Passo 4
Explicação do Teste da Razão (didática e intuitiva).
O Teste da Razão (d’Alembert) diz: para uma série com termos não negativos
, se existir
então
- se
a série converge; - se
a série diverge; - se
o teste é inconclusivo.
Intuição rápida: se para
grande
, então a sequência de termos se comporta como uma progressão geométrica decrescente (cada termo é aproximadamente
vezes o anterior), e a soma é finita. No nosso caso encontramos
, que é ainda mais favorável (muito menor que
).
Passo 5
Aplicação do Teste da Razão ao nosso caso.
Como calculado no Passo 3,
Pelo Teste da Razão, a série
converge. Como todos os
são positivos, isso significa também que a convergência é absoluta (para termos positivos, convergência e convergência absoluta coincidem).
Passo 6
Comentário adicional (reforço): comportamento assintótico que explica rapididade da queda.
Para reforçar o entendimento, note que para todo
vale
. Assim, para
,
Da forma em produto do Passo 2 vem, para
,
Como a sequência
é a sequência de termos da série de Taylor da exponencial (que produz uma série convergente) isto dá outra forma de ver que
decai muito rápido e a soma
converge.
Resposta
A série converge (convergência absoluta).