Verifique se as sequências abaixo convergem ou divergem. Se convergir, encontre seu limite:
a_{n}=\sqrt{2 n+3}-\sqrt{2 n-3};

Passo 1

O enunciado nos dá a sequência
a_{n}=\sqrt{2 n+3}-\sqrt{2 n-3}
e pede para verificar se essa sequência converge ou diverge. Se convergir, preciso encontrar o seu limite. Informações relevantes dadas:
  • A sequência é dada por diferença de duas raízes quadradas que dependem de n.
  • O índice n tende a +\infty quando falamos de convergência padrão de sequências.

Passo 2

Estratégia útil para diferenças de raízes: racionalizar usando o conjugado. Vou explicar isso devagarinho como se estivéssemos na prova. A ideia é multiplicar e dividir por \sqrt{2 n+3}+\sqrt{2 n-3} para transformar a diferença de raízes em uma razão mais simples.
Multiplicando numerador e denominador por esse conjugado obtenho:
a_{n}=\frac{\bigl(\sqrt{2 n+3}-\sqrt{2 n-3}\bigr)\bigl(\sqrt{2 n+3}+\sqrt{2 n-3}\bigr)}{\sqrt{2 n+3}+\sqrt{2 n-3}}

Passo 3

Calculo o produto no numerador usando a identidade (x-y)(x+y)=x^{2}-y^{2}. Aplicando com x=\sqrt{2 n+3} e y=\sqrt{2 n-3} dá:
\bigl(\sqrt{2 n+3}\bigr)^{2}-\bigl(\sqrt{2 n-3}\bigr)^{2}=(2 n+3)-(2 n-3)=6
Logo a expressão simplifica para
a_{n}=\frac{6}{\sqrt{2 n+3}+\sqrt{2 n-3}}

Passo 4

Agora vamos analisar o limite quando n\to\infty. Uma forma clara de ver o comportamento é fatorar \sqrt{n} do denominador. Note que
\sqrt{2 n+3}=\sqrt{n}\,\sqrt{2+\frac{3}{n}} \qquad\text{e}\qquad \sqrt{2 n-3}=\sqrt{n}\,\sqrt{2-\frac{3}{n}}
Portanto
\sqrt{2 n+3}+\sqrt{2 n-3}=\sqrt{n}\Bigl(\sqrt{2+\tfrac{3}{n}}+\sqrt{2-\tfrac{3}{n}}\Bigr)
Substituindo em a_{n} obtemos
a_{n}=\frac{6}{\sqrt{n}\,\Bigl(\sqrt{2+\tfrac{3}{n}}+\sqrt{2-\tfrac{3}{n}}\Bigr)}
Agora, quando n\to\infty temos \tfrac{3}{n}\to 0, logo
\sqrt{2+\tfrac{3}{n}}\to\sqrt{2} \qquad\text{e}\qquad \sqrt{2-\tfrac{3}{n}}\to\sqrt{2}
Assim o fator entre parênteses tende a 2\sqrt{2}, e como existe o \sqrt{n} no denominador, temos que a_{n} tende a zero. Mais formalmente,
\lim_{n\to\infty}a_{n} =\lim_{n\to\infty}\frac{6}{\sqrt{n}\,\Bigl(\sqrt{2+\tfrac{3}{n}}+\sqrt{2-\tfrac{3}{n}}\Bigr)}=0

Passo 5

Comentário prático para a prova (truque que sempre salva): após racionalizar, normalmente o numerador vira uma constante (aqui 6) e o denominador cresce como alguma múltiplo de \sqrt{n}. Isso indica convergência para 0. Também é útil conhecer o equivalente assintótico. A partir de
a_{n}=\frac{6}{\sqrt{2 n+3}+\sqrt{2 n-3}}
para grandes n o denominador vale aproximadamente 2\sqrt{2n}, então
a_{n}\sim\frac{6}{2\sqrt{2n}}=\frac{3}{\sqrt{2n}}
o que mostra não só que tende a 0 como dá a taxa aproximada de decaimento.

Resposta

0

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