Verifique se as sequências abaixo convergem ou divergem. Se convergir, encontre seu limite:
;
Passo 1
O enunciado nos dá a sequência
e pede para verificar se essa sequência converge ou diverge. Se convergir, preciso encontrar o seu limite. Informações relevantes dadas:
- A sequência é dada por diferença de duas raízes quadradas que dependem de
. - O índice
tende a quando falamos de convergência padrão de sequências.
Passo 2
Estratégia útil para diferenças de raízes: racionalizar usando o conjugado. Vou explicar isso devagarinho como se estivéssemos na prova. A ideia é multiplicar e dividir por
para transformar a diferença de raízes em uma razão mais simples.
Multiplicando numerador e denominador por esse conjugado obtenho:
Passo 3
Calculo o produto no numerador usando a identidade
. Aplicando com
e
dá:
Logo a expressão simplifica para
Passo 4
Agora vamos analisar o limite quando
. Uma forma clara de ver o comportamento é fatorar
do denominador. Note que
Portanto
Substituindo em
obtemos
Agora, quando
temos
, logo
Assim o fator entre parênteses tende a
, e como existe o
no denominador, temos que
tende a zero. Mais formalmente,
Passo 5
Comentário prático para a prova (truque que sempre salva): após racionalizar, normalmente o numerador vira uma constante (aqui
) e o denominador cresce como alguma múltiplo de
. Isso indica convergência para
. Também é útil conhecer o equivalente assintótico. A partir de
para grandes
o denominador vale aproximadamente
, então
o que mostra não só que tende a
como dá a taxa aproximada de decaimento.