Verifique se as sequências abaixo são convergentes ou não. Caso convirjam determine seu limite.
(\cos (n \pi))_{n \in \mathbb{N}}

Passo 1

O enunciado dá a sequência \big(\cos(n\pi)\big)_{n\in\mathbb{N}} e pede para verificar se ela é convergente; caso seja, determinar o limite.
Informações relevantes fornecidas:
  • A sequência é dada termo a termo por x_n=\cos(n\pi) para n\in\mathbb{N}.
  • Precisa-se decidir se existe L\in\mathbb{R} tal que \lim_{n\to\infty} x_n = L.

Passo 2

Vamos encontrar uma fórmula explícita para x_n=\cos(n\pi). Usamos a razão de recorrência para o cosseno:
\cos((n+1)\pi)=\cos(n\pi)\cos(\pi)-\sin(n\pi)\sin(\pi).
Como \cos(\pi)=-1 e \sin(\pi)=0, segue
\cos((n+1)\pi)=-\cos(n\pi).
Isso mostra que os termos mudam de sinal a cada incremento de n. Verificando a base, \cos(0\pi)=\cos 0=1. Por indução, obtemos a fórmula fechada
\cos(n\pi)=(-1)^n\qquad\text{para todo }n\in\mathbb{N}_0.
(Se a contagem de \mathbb{N} começar em 1, a fórmula vale igualmente: \cos(n\pi)=(-1)^n.)

Passo 3

Agora avaliamos a sequência com a fórmula \cos(n\pi)=(-1)^n:
\text{se }n=2k\text{ (par), então }\cos(2k\pi)=(-1)^{2k}=1.ã
\text{se }n=2k+1\text{ (ímpar), então }\cos((2k+1)\pi)=(-1)^{2k+1}=-1.íã
Assim os termos da sequência alternam entre 1 e -1: a subsequência dos índices pares é constante igual a 1, e a subsequência dos índices ímpares é constante igual a -1.

Passo 4

Lembrando a definição de limite de sequência: \big(x_n\big) converge para L se, para todo \varepsilon>0, existe N tal que |x_n-L|<\varepsilon para todo n\ge N.
Suponha, por contradição, que exista L com \lim_{n\to\infty}\cos(n\pi)=L. Escolha \varepsilon=\tfrac{1}{2}. Então deve existir N tal que para todo n\ge N vale |\cos(n\pi)-L|<\tfrac{1}{2}.
Mas por

Resposta

A sequência \big(\cos(n\pi)\big)_{n\in\mathbb{N}} não converge.

Exercícios relacionados