Verifique se as sequências abaixo são convergentes ou não. Caso convirjam determine seu limite.
Passo 1
O enunciado dá a sequência
e pede para verificar se ela é convergente; caso seja, determinar o limite.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- A sequência é dada termo a termo por
para . - Precisa-se decidir se existe
tal que .
Passo 2
Vamos encontrar uma fórmula explícita para
. Usamos a razão de recorrência para o cosseno:
Como
e
, segue
Isso mostra que os termos mudam de sinal a cada incremento de
. Verificando a base,
. Por indução, obtemos a fórmula fechada
(Se a contagem de
começar em
, a fórmula vale igualmente:
.)
Passo 3
Agora avaliamos a sequência com a fórmula
:
Assim os termos da sequência alternam entre
e
: a subsequência dos índices pares é constante igual a
, e a subsequência dos índices ímpares é constante igual a
.
Passo 4
Lembrando a definição de limite de sequência:
converge para
se, para todo
, existe
tal que
para todo
.
Suponha, por contradição, que exista com
. Escolha
. Então deve existir
tal que para todo
vale
.
Suponha, por contradição, que exista
Mas por
Resposta
A sequência
não converge.