Verifique se as sequências abaixo são convergentes ou não. Caso convirjam determine seu limite.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a sequência
converge. Se convergir, determinar o limite. Informação dada: termo geral
.
O problema também nos dá uma intuição de que, como o numerador é um polinômio de grau maior que o denominador, o quociente tende a crescer sem limite. Aqui, o numerador tem grau
e o denominador grau
, então esperamos que
.
Passo 2
Para tornar essa ideia rigorosa e fácil de manipular, faremos a divisão polinomial (ou decomposição) para escrever
de forma mais explícita. Efetuando a divisão de
por
obtemos:
Verificação rápida:
, logo a identidade acima é correta para todo
.
Passo 3
Analisando a expressão obtida termo a termo, escrevemos
Observações:
-
para todo . - Portanto
para todo .
Comoimplica , segue que . Para um argumento \emph{epsilon-style} adaptado a divergência para : dado escolher . Se então e, como , obtemos . Isso mostra que, para qualquer , existe com sempre que ; isto é a definição de .
Passo 4
Em resumo, a parte dominante do termo é
(pois
e
), então os termos crescem sem limite. Logo a sequência não converge no conjunto dos números reais; diverge para
.
Resposta
A sequência diverge para
:
.