Verifique se as sequências abaixo são convergentes ou não. Caso convirjam determine seu limite.
\left(\frac{n^{2}}{n+1}\right)_{n \in \mathbb{N}}

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a sequência
\left(\frac{n^{2}}{n+1}\right)_{n\in\mathbb{N}}
converge. Se convergir, determinar o limite. Informação dada: termo geral a_n=\dfrac{n^{2}}{n+1}.
O problema também nos dá uma intuição de que, como o numerador é um polinômio de grau maior que o denominador, o quociente tende a crescer sem limite. Aqui, o numerador tem grau 2 e o denominador grau 1, então esperamos que a_n\to+\infty.

Passo 2

Para tornar essa ideia rigorosa e fácil de manipular, faremos a divisão polinomial (ou decomposição) para escrever a_n de forma mais explícita. Efetuando a divisão de n^{2} por n+1 obtemos:
\frac{n^{2}}{n+1}=n-1+\frac{1}{n+1}.
Verificação rápida: (n+1)(n-1)+1=n^{2}, logo a identidade acima é correta para todo n\in\mathbb{N}.

Passo 3

Analisando a expressão obtida termo a termo, escrevemos
a_n=n-1+\frac{1}{n+1}.
Observações:
  • \dfrac{1}{n+1}>0 para todo n.
  • Portanto a_n>n-1 para todo n.
    Como n\to\infty implica n-1\to\infty, segue que a_n\to\infty. Para um argumento \emph{epsilon-style} adaptado a divergência para +\infty: dado M>0 escolher N=\lceil M+1\rceil. Se n\ge N então n-1\ge M e, como a_n>n-1, obtemos a_n>M. Isso mostra que, para qualquer M, existe N com a_n>M sempre que n\ge N; isto é a definição de \displaystyle a_n\to+\infty.

Passo 4

Em resumo, a parte dominante do termo é n (pois \dfrac{n^{2}}{n+1}=n\cdot\dfrac{n}{n+1} e \dfrac{n}{n+1}\to1), então os termos crescem sem limite. Logo a sequência não converge no conjunto dos números reais; diverge para +\infty.

Resposta

A sequência diverge para +\infty: \displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{n^{2}}{n+1}=+\infty.

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