Verifique se as sequências abaixo são convergentes ou não. Caso convirjam determine seu limite. \left(\frac{n}{n+1}\right)_{n \in \mathbb{N}}
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a sequência \left(\dfrac{n}{n+1}\right)_{n\in\mathbb{N}} converge e, se convergir, determinar o limite. A informação que temos é a fórmula do termo geral:
a_n=\frac{n}{n+1},\qquad n\in\mathbb{N}.
Passo 2
Vamos olhar os primeiros termos para ganhar intuição:
os termos parecem crescer e aproximar-se de 1. Uma manipulação algébrica simples ajuda a ver isso claramente:
\frac{n}{n+1}=1-\frac{1}{n+1}.
Então a_n=1-\dfrac{1}{n+1}. Se \dfrac{1}{n+1} tende a 0, então a_n tende a 1. Agora vamos justificar que \dfrac{1}{n+1}\to0 de forma precisa.
Passo 3
Explicando o que significa "tender a 0" (definição \varepsilon-N para sequência): dizer que \dfrac{1}{n+1}\to0 significa que, para todo \varepsilon>0, existe N\in\mathbb{N} tal que, para todo n\ge N,
Pelo passo 3, para todo \varepsilon>0 existe N tal que, para todo n\ge N, \dfrac{1}{n+1}<\varepsilon. Logo \left|a_n-1\right|<\varepsilon para n\ge N. Isso é exatamente a definição de convergência de sequência com limite 1. Portanto a sequência converge e o limite é 1.
Passo 5
(Observação alternativa — intuição extra) Outra forma de ver convergência é notar que a sequência é crescente e limitada acima:
E para todo n, a_n=\dfrac{n}{n+1}<1, então é limitada por 1.
Uma sequência monótona crescente e limitada é convergente; o único número plausível como limite é 1 (pelo passo 2). Isso confirma o resultado anterior.