Verifique se as sequências abaixo são convergentes ou não. Caso convirjam determine seu limite.
\left(\frac{n}{n+1}\right)_{n \in \mathbb{N}}

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a sequência \left(\dfrac{n}{n+1}\right)_{n\in\mathbb{N}} converge e, se convergir, determinar o limite. A informação que temos é a fórmula do termo geral:
a_n=\frac{n}{n+1},\qquad n\in\mathbb{N}.

Passo 2

Vamos olhar os primeiros termos para ganhar intuição:
a_1=\frac{1}{2}=0{,}5,\quad a_2=\frac{2}{3}\approx0{,}666\ldots,\quad a_3=\frac{3}{4}=0{,}75,\\ \ldots
os termos parecem crescer e aproximar-se de 1. Uma manipulação algébrica simples ajuda a ver isso claramente:
\frac{n}{n+1}=1-\frac{1}{n+1}.
Então a_n=1-\dfrac{1}{n+1}. Se \dfrac{1}{n+1} tende a 0, então a_n tende a 1. Agora vamos justificar que \dfrac{1}{n+1}\to0 de forma precisa.

Passo 3

Explicando o que significa "tender a 0" (definição \varepsilon- N para sequência): dizer que \dfrac{1}{n+1}\to0 significa que, para todo \varepsilon>0, existe N\in\mathbb{N} tal que, para todo n\ge N,
\left|\frac{1}{n+1}-0\right|=\frac{1}{n+1}<\varepsilon.
Agora constrói-se um N que funciona: seja \varepsilon>0. Escolha
N=\left\lceil\frac{1}{\varepsilon}\right\rceil.
Como N\ge\frac{1}{\varepsilon}, para todo n\ge N temos n+1\ge N+1>\frac{1}{\varepsilon}, portanto
\frac{1}{n+1}<\varepsilon.
Isso prova rigorosamente que \dfrac{1}{n+1}\to0.

Passo 4

Usando o resultado do passo anterior e a expressão a_n=1-\dfrac{1}{n+1}, temos
\left|a_n-1\right|=\left|-\frac{1}{n+1}\right|=\frac{1}{n+1}.
Pelo passo 3, para todo \varepsilon>0 existe N tal que, para todo n\ge N, \dfrac{1}{n+1}<\varepsilon. Logo \left|a_n-1\right|<\varepsilon para n\ge N. Isso é exatamente a definição de convergência de sequência com limite 1. Portanto a sequência converge e o limite é 1.

Passo 5

(Observação alternativa — intuição extra) Outra forma de ver convergência é notar que a sequência é crescente e limitada acima:
  • Diferença entre termos sucessivos:
a_{n+1}-a_n=\frac{n+1}{n+2}-\frac{n}{n+1}=\frac{1}{(n+2)(n+1)}>0,
logo (a_n) é estritamente crescente.
  • E para todo n, a_n=\dfrac{n}{n+1}<1, então é limitada por 1.
    Uma sequência monótona crescente e limitada é convergente; o único número plausível como limite é 1 (pelo passo 2). Isso confirma o resultado anterior.

Resposta

\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{n}{n+1}=1

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