Verifique se as sequências abaixo são convergentes ou não. Caso convirjam determine seu limite. \left(n+d \frac{1}{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}
Passo 1
O enunciado dá a sequência \left(n + d\frac{1}{n}\right)_{n\in\mathbb{N}} e pede para verificar se ela é convergente. Se for convergente, determinar o limite. Informações relevantes fornecidas:
A sequência é a_n = n + d\frac{1}{n}, com n\in\mathbb{N}.
d é um parâmetro (assume-se real, pois nada mais foi dito).
As perguntas claras são:
A sequência \left(n + d\frac{1}{n}\right) converge (no sentido usual em \mathbb{R})?
Se converge, qual é o limite? Caso não, qual é o comportamento do limite (por exemplo, diverge para +\infty)?
Passo 2
Lembrando as definições (bem didático):
Dizemos que uma sequência \left(a_n\right) converge para um número real L se, para todo \varepsilon>0, existe N\in\mathbb{N} tal que |a_n-L|<\varepsilon para todo n\ge N.
Dizemos que \left(a_n\right) diverge para +\infty se, para todo M>0, existe N\in\mathbb{N} tal que a_n>M para todo n\ge N.
Intuição rápida: a parte n cresce sem limite quando n\to\infty; a parte d\frac{1}{n} tende para 0. Assim a sequência parece crescer sem limite, ou seja, deve divergir para +\infty. Agora vamos provar isso formalmente.
Passo 3
Estudo do termo pequeno \,d\frac{1}{n}\,:
Para todo n\ge 1 vale \left|d\frac{1}{n}\right|=\dfrac{|d|}{n}\le |d|, porque \dfrac{1}{n}\le 1.
Obtendo uma desigualdade útil:
A sequência é a_n = n + d\frac{1}{n}. Usando d\frac{1}{n}\ge -|d| (do passo anterior) obtemos
a_n = n + d\frac{1}{n} \ge n - |d|.
Essa desigualdade vale para todo n\in\mathbb{N}.
Passo 5
Prova formal de que a_n\to +\infty (diverge para +\infty):
Seja qualquer M>0. Queremos encontrar N tal que a_n > M para todo n\ge N.
Pela desigualdade do passo anterior, se garantirmos n - |d| \ge M então teremos a_n \ge n - |d| \ge M.
Escolha, por exemplo,
N = \left\lceil M + |d| \right\rceil,
onde \lceil x\rceil é o menor inteiro \ge x. Para todo n\ge N temos n\ge N \ge M + |d|, portanto n - |d| \ge M e assim a_n \ge n - |d| \ge M. Isso mostra que, para qualquer M>0, existe N (especificado acima) com a_n>M para todo n\ge N. Pelo critério da definição, isso significa que
a_n \to +\infty\quad\text{quando }n\to\infty.
Passo 6
Conclusão sobre convergência no sentido usual:
Porque a_n\to +\infty, a sequência não converge para nenhum número real finito. Em análise real usual dizemos que a sequência diverge (mais precisamente, diverge para +\infty). Observação adicional (intuição): o termo d\frac{1}{n} tende a 0, mas isso é insignificante frente ao crescimento ilimitado de n.
Resposta
A sequência diverge; mais precisamente, \displaystyle n+d\frac{1}{n}\to +\infty quando n\to\infty.