Verifique se as sequências abaixo são convergentes ou não. Caso convirjam determine seu limite.
Passo 1
O enunciado dá a sequência
e pede para verificar se ela é convergente ou não. Caso convirja, determinar o limite.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- Termo geral da sequência:
. - O índice
varia em (ou seja ). - Pergunta: a sequência converge? Se sim, qual é o limite?
Passo 2
Simplificar o termo geral para entender melhor seu comportamento.
Para
temos
, portanto podemos simplificar um fator
no numerador com o do denominador:
Assim o termo geral fica
.
Passo 3
Interpretar o termo simplificado. A sequência é agora
Isto é uma sequência afim (linear) em
: conforme
cresce,
cresce aproximadamente como
. Intuitivamente, por divisão por uma constante positiva, os termos aumentam sem limite quando
.
Passo 4
Dar uma demonstração rígida de que os termos crescem sem limite (divergem para
).
Queremos mostrar que para todo
existe
tal que, para todo
,
.
Seja
fixo. Escolha
onde
é o teto de
. Então
. Para todo
temos
, portanto
Isso mostra exatamente que os termos da sequência ficam maiores que qualquer
para
suficientemente grande, ou seja,
Passo 5
Conclusão: a sequência não converge para um número real finito; diverge para
.