Verifique se as sequências abaixo são convergentes ou não. Caso convirjam determine seu limite.
\left(\frac{(n+1)^{2}}{254(n+1)}\right)_{n \in \mathbb{N}}

Passo 1

O enunciado dá a sequência
\left(\frac{(n+1)^{2}}{254(n+1)}\right)_{n\in\mathbb{N}}
e pede para verificar se ela é convergente ou não. Caso convirja, determinar o limite.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Termo geral da sequência: \dfrac{(n+1)^{2}}{254(n+1)}.
  • O índice n varia em \mathbb{N} (ou seja n=0,1,2,\dots).
  • Pergunta: a sequência converge? Se sim, qual é o limite?

Passo 2

Simplificar o termo geral para entender melhor seu comportamento.
Para n\in\mathbb{N} temos n+1\neq 0, portanto podemos simplificar um fator (n+1) no numerador com o do denominador:
\frac{(n+1)^{2}}{254(n+1)}=\frac{n+1}{254}.
Assim o termo geral fica \dfrac{n+1}{254}.

Passo 3

Interpretar o termo simplificado. A sequência é agora
a_n=\frac{n+1}{254}.
Isto é uma sequência afim (linear) em n: conforme n cresce, a_n cresce aproximadamente como \dfrac{n}{254}. Intuitivamente, por divisão por uma constante positiva, os termos aumentam sem limite quando n\to\infty.

Passo 4

Dar uma demonstração rígida de que os termos crescem sem limite (divergem para +\infty).
Queremos mostrar que para todo M>0 existe N\in\mathbb{N} tal que, para todo n\ge N, \dfrac{n+1}{254}>M.
Seja M>0 fixo. Escolha
N=\lceil 254M \rceil,
onde \lceil x\rceil é o teto de x. Então N\ge 254M. Para todo n\ge N temos n+1\ge N+1\ge 254M+1, portanto
\frac{n+1}{254}\ge\frac{254M+1}{254}=M+\frac{1}{254}>M.
Isso mostra exatamente que os termos da sequência ficam maiores que qualquer M>0 para n suficientemente grande, ou seja,
\lim_{n\to\infty}\frac{n+1}{254}=+\infty.

Passo 5

Conclusão: a sequência não converge para um número real finito; diverge para +\infty.

Resposta

\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{(n+1)^{2}}{254(n+1)}=+\infty

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