Um certo banco está cobrando 5% de juros ao mês. Tadeu tomou emprestado R$2400,00, e deve pagar prestações mensais fixas de R$ 200,00 (a primeira paga ao final do primeiro mês do empréstimo).
a) Encontre uma relação de recorrência e condições iniciais para a dívida de Tadeu ao final do n-ésimo mês.
b) Resolva a recorrência linear de 1^{\text {a }} ordem obtida no item a).

Passo 1

O enunciado trata de um empréstimo de R$ 2400,00 que é acrescido de juros de 5\% ao mês. Tadeu paga prestações fixas de R$ 200,00 ao final de cada mês. Vamos modelar a dívida D_n imediatamente após o pagamento do n-ésimo mês. Para isso usaremos recurrences de primeira ordem com termo não homogêneo.

Passo 2

Entre o instante imediatamente após o pagamento do mês n-1 e imediatamente antes do pagamento do mês n, a dívida D_{n-1} acumula juros de 5\%. Isso leva a
\text{dívida antes do pagamento }n = 1{,}05\,D_{n-1}.í
Em seguida Tadeu paga R$ 200,00, de modo que a dívida após o pagamento é
D_n = 1{,}05\,D_{n-1} - 200.

Passo 3

A condição inicial é a dívida imediatamente após o “mês zero” (isto é, antes de qualquer pagamento), que é o valor do empréstimo:
D_0 = 2400.

Passo 4

Temos, portanto, a recorrência linear de primeira ordem não homogênea
D_n - 1{,}05\,D_{n-1} = -200, \quad D_0=2400.
Para resolvê-la, primeiro achamos a solução geral da parte homogênea
D_n^{(h)} = C\,(1{,}05)^n.

Passo 5

Agora buscamos uma solução particular constante D_n^{(p)}=A. Substituindo na recorrência:
A - 1{,}05\,A = -200 \quad\Longrightarrow\quad A(1 - 1{,}05) = -200 \quad\Longrightarrow\quad -0{,}05\,A = -200 \quad\Longrightarrow\quad A = 4000.

Passo 6

A solução geral é
D_n = D_n^{(h)} + D_n^{(p)} = C\,(1{,}05)^n + 4000.
Usando D_0=2400
2400 = C\,(1{,}05)^0 + 4000 \quad\Longrightarrow\quad C + 4000 = 2400 \quad\Longrightarrow\quad C = -1600.
Logo
D_n = -1600\,(1{,}05)^n + 4000.

Resposta

D_n = 4000 \;-\;1600\,(1{,}05)^n, \quad D_0=2400, \quad D_n = 1{,}05\,D_{n-1}-200.

Exercícios relacionados