Um certo banco está cobrando 5% de juros ao mês. Tadeu tomou emprestado R$2400,00, e deve pagar prestações mensais fixas de R$ 200,00 (a primeira paga ao final do primeiro mês do empréstimo).
a) Encontre uma relação de recorrência e condições iniciais para a dívida de Tadeu ao final do n-ésimo mês.
b) Resolva a recorrência linear de
ordem obtida no item a).
a) Encontre uma relação de recorrência e condições iniciais para a dívida de Tadeu ao final do n-ésimo mês.
b) Resolva a recorrência linear de
Passo 1
O enunciado trata de um empréstimo de R$
que é acrescido de juros de
ao mês. Tadeu paga prestações fixas de R$
ao final de cada mês. Vamos modelar a dívida
imediatamente após o pagamento do
-ésimo mês. Para isso usaremos recurrences de primeira ordem com termo não homogêneo.
Passo 2
Entre o instante imediatamente após o pagamento do mês
e imediatamente antes do pagamento do mês
, a dívida
acumula juros de
. Isso leva a
Em seguida Tadeu paga R$
, de modo que a dívida após o pagamento é
Passo 3
A condição inicial é a dívida imediatamente após o “mês zero” (isto é, antes de qualquer pagamento), que é o valor do empréstimo:
Passo 4
Temos, portanto, a recorrência linear de primeira ordem não homogênea
Para resolvê-la, primeiro achamos a solução geral da parte homogênea
Passo 5
Agora buscamos uma solução particular constante
. Substituindo na recorrência:
Passo 6
A solução geral é
Usando
dá
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