Verifique se as sequências são crescentes, decrescentes ou não-monótonas. Determine também se são limitadas superiormente e inferiormente.
n^2-1n^2+1

Passo 1

O enunciado pede para analisar a sequência an=n^2-1n^2+1, verificando sua monotonicidade (se cresce ou decresce) e também se ela é limitada acima e abaixo. Vamos usar a diferença an+1-an para monotonicidade e limites para as cotas.

Passo 2

Para estudar a monotonicidade, calculamos an+1-an:
an+1-an =(n+1)^2-1(n+1)^2+1-n^2-1n^2+1 =4n+2l((n+1)^2+1r)(n^2+1)
Como n>=1 implica 4n+2>0 e o denominador é positivo, concluímos que an+1-an>0. Logo a sequência é crescente.

Passo 3

Para as cotas, observamos que
limntoinftyan=limntoinftyn^2-1n^2+1=1
Como a sequência é crescente e seu limite superior é 1, ela é limitada acima por 1. O menor termo ocorre em n=1, pois a1=0. Logo ela é limitada abaixo por 0.

Resposta

A sequência é crescente, limitada superiormente por 1 e limitada inferiormente por 0.

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